Гипотеза об одиноком бегуне
В теории игр, особенно при изучении диофантовых приближений, гипотеза об одиноком бегуне — это гипотеза, выдвинутая Уиллсом (J. M. Wills) в 1967. Приложения гипотезы широко представлены в математике, они включают задачи ограничения обзора[1] и вычисления хроматического числа дистанционных и циркулянтных графов[2]. Гипотеза получила образное имя благодаря Годдину (L. Goddyn) в 1998[3].
Гипотеза
Пусть k бегунов бегут по круговой дорожке единичной длины. В момент t = 0 все бегуны находились в одной точке и начали забег. Скорость бегунов попарно различна. Говорят, что бегун A одинок в момент t, если он находится на расстоянии по меньшей мере 1/k от всех остальных бегунов. Гипотеза утверждает, что каждый игрок будет одиноким в некоторый момент времени.[4]
Обычная формулировка задачи предполагает, что бегуны имеют скорости, выражаемые целыми числами, не делящимися на одно и то же простое число. Игрок, который должен быть одиноким, имеет нулевую скорость. Гипотеза утверждает, что если D – произвольный набор целых положительных чисел, который содержит ровно [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] число, с наибольшим общим делителем равным 1, тогда
- [math]\displaystyle{ \exist t\in \mathbb{R}\quad \forall d\in D\quad ||td|| \geq \frac{1}{k}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ ||x|| }[/math] означает расстояние от числа x до ближайшего целого.
Известные результаты
| k | год доказательства | кем доказано | замечания |
|---|---|---|---|
| 1 | - | - | тривиально: t = 0; для любого t |
| 2 | - | - | тривиально: t = 1 / (2 * (v1-v0)) |
| 3 | - | - | Любое доказательство для k>3 также доказывает k=3 |
| 4 | 1972 | Бетке и Виллс;[5] Кузик[6] | - |
| 5 | 1984 | Кузик и Померанц;[7] Бьенья и др.[3] | - |
| 6 | 2001 | Бохман, Хольцман, Кляйтман;[8] Рено[9] | - |
| 7 | 2008 | Барайас и Серра[2] | - |
В 2011 году было доказано, что для достаточно большого количества бегунов с скоростями [math]\displaystyle{ v_1 \lt v_2 \lt ... \lt v_k }[/math], если [math]\displaystyle{ \frac{v_{i+1}}{v_i} \geq 1 + \frac{33\log(k)}{k}, }[/math] то гипотеза выполнена[10].
Замечания
- ↑ T. W. Cusick. View-Obstruction problems // Aequationes Math.. — 1973. — Т. 9, вып. 2—3. — С. 165—170. — doi:10.1007/BF01832623.
- ↑ 2,0 2,1 J. Barajas and O. Serra. The lonely runner with seven runners // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2008. — Т. 15. — С. R48.
- ↑ 3,0 3,1 W. Bienia et al. Flows, view obstructions, and the lonely runner problem // Journal of combinatorial theory series B. — 1998. — Т. 72. — С. 1—9. — doi:10.1006/jctb.1997.1770.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 407.
- ↑ Betke U., Wills J. M. Untere Schranken für zwei diophantische Approximations-Funktionen (нем.) // Monatshefte für Mathematik. — 1972. — Juni (Bd. 76, Nr. 3). — S. 214—217. — ISSN 0026-9255. — doi:10.1007/BF01322924.
- ↑ T. W. Cusick. View-obstruction problems in n-dimensional geometry // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1974. — Т. 16, вып. 1. — С. 1—11. — doi:10.1016/0097-3165(74)90066-1.
- ↑ Cusick T.W., Pomerance Carl. View-obstruction problems, III (англ.) // Journal of Number Theory. — 1984. — October (vol. 19, no. 2). — P. 131—139. — ISSN 0022-314X. — doi:10.1016/0022-314X(84)90097-0.
- ↑ T. Bohman, R. Holzman, D. Kleitman. Six lonely runners // Electronic Journal of Combinatorics. — 2001. — Т. 8, вып. 2.
- ↑ Renault Jérôme. View-obstruction: a shorter proof for 6 lonely runners (англ.) // Discrete Mathematics. — 2004. — October (vol. 287, no. 1-3). — P. 93—101. — ISSN 0012-365X. — doi:10.1016/j.disc.2004.06.008.
- ↑ Dubickas, A. The lonely runner problem for many runners (неопр.) // Glasnik Matematicki. — 2011. — Т. 46. — С. 25—30. — doi:10.3336/gm.46.1.05.
Внешние ссылки
- статья в «the Open Problem Garden» Архивная копия от 9 ноября 2020 на Wayback Machine
Литература
- Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |