Перейти к содержанию

Гипотеза Минковского

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Гипотеза Минковского — предположение, согласно которому для любой решётки [math]\displaystyle{ L\subset \R^n }[/math] с определителем [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] и любого вектора [math]\displaystyle{ v=(v_1,v_2,..,v_n) }[/math] найдётся элемент [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,..,x_n)\in L }[/math] такой что

[math]\displaystyle{ |(x_1-v_1)(x_2-v_2)\dots (x_n-v_n)| \leqslant 1 }[/math]
  • Случай [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] этой гипотезы был доказан Минковским[1]
  • При [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] гипотезу Минковского доказал Ремак[2]
  • При [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] гипотезу Минковского доказал Дайсон [3]
  • При [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] гипотезу Минковского доказал Скубенко [4]

Литература

  • Касселс Дж. В. С, Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1955;
  1. Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.
  2. Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.
  3. Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.
  4. Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271