Гипотеза Минковского

Гипотеза Минковского — предположение, согласно которому для любой решётки [math]\displaystyle{ L\subset \R^n }[/math] с определителем [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] и любого вектора [math]\displaystyle{ v=(v_1,v_2,..,v_n) }[/math] найдётся элемент [math]\displaystyle{ x=(x_1,x_2,..,x_n)\in L }[/math] такой что

[math]\displaystyle{ |(x_1-v_1)(x_2-v_2)\dots (x_n-v_n)| \leqslant 1 }[/math]

Случай [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] этой гипотезы был доказан Минковским^[1]
При [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] гипотезу Минковского доказал Ремак^[2]
При [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] гипотезу Минковского доказал Дайсон ^[3]
При [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] гипотезу Минковского доказал Скубенко ^[4]

Литература

Касселс Дж. В. С, Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1955;

↑ Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.
↑ Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.
↑ Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.
↑ Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271

[1] Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.

[2] Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.

[3] Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.

[4] Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271

[1]

[2]

[3]

[4]