Гипотеза Зарисского

Обозначим через [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[X_1, X_2, ..., X_n] }[/math] множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных [math]\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_n }[/math]. Пусть в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[X_1, X_2, ..., X_n] }[/math] выбрано подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math], содержащее все константы [math]\displaystyle{ C }[/math] и обладающее следующими свойствами: если [math]\displaystyle{ f,g \in A }[/math], то [math]\displaystyle{ f - g }[/math] и [math]\displaystyle{ fg }[/math] лежат в [math]\displaystyle{ A }[/math]. Предположим, что существует такой многочлен [math]\displaystyle{ T \in \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m] }[/math], что каждый элемент [math]\displaystyle{ f }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m] }[/math] представляется в виде многочлена [math]\displaystyle{ f=a_0+a_1T+a_2T^2+...+a_mT^m, a_0, a_1,...a_m \in A, }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] зависит от [math]\displaystyle{ f }[/math]. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены [math]\displaystyle{ T_1, T_2, ..., T_{n-1} \in \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m] }[/math], что каждый элемент [math]\displaystyle{ f }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[X_1, X_2, ... X_m] }[/math] представляется в виде многочлена от [math]\displaystyle{ T_1, T_2, ..., T_{n-1}, T }[/math]. Гипотеза Зарисского доказана для [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] и [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]. Для случая [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math] её никому доказать не удалось.

Литература

В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001