Синус-верзус

Определение тригонометрических функций на единичной окружности. Отрезок CD описывает версинус.

Синус-верзус (sinus versus — обращённый синус; другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги») — одна из редко используемых тригонометрических функций. Синус-верзус угла [math]\displaystyle{ \vartheta }[/math] обозначается символом [math]\displaystyle{ \operatorname{versin}\,\vartheta ; }[/math] иногда используются обозначения [math]\displaystyle{ \operatorname{vers}\,\vartheta, \quad \sin\,\operatorname{vers}\,\vartheta. }[/math]

Определение

Синус-верзус определяется с помощью синуса и косинуса как

[math]\displaystyle{ \operatorname{versin}\,\vartheta=1-\cos\vartheta=2\sin^2\left(\frac{\vartheta}{2}\right). }[/math]

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.

Свойства

График функции синус-верзус.

Версинус — периодическая функция с периодом 2π. Определена, непрерывна и бесконечно дифференцируема для всех действительных чисел.

[math]\displaystyle{ \rm versin }[/math] можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная версинуса — синус:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dz}\operatorname{versin}\, z =\sin z. }[/math]

Первообразная:

[math]\displaystyle{ \int\operatorname{versin}\, z \,dz = z-\sin z + C. }[/math]

История и использование

Синус-верзус играл важную роль в навигации по звёздам.

См. также

• Редко используемые тригонометрические функции

Литература

• M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (9)1972, New York: Dover, стр. 78

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Versine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.