Аксиомы Пеано

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Формулировки

Словесная

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число [math]\displaystyle{ a }[/math] непосредственно следует как за числом [math]\displaystyle{ b }[/math], так и за числом [math]\displaystyle{ c }[/math], то [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math], вытекает, что оно верно для следующего за [math]\displaystyle{ n }[/math] натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Математическая формулировка использует функцию следования[en] [math]\displaystyle{ S(x) }[/math], которая сопоставляет числу [math]\displaystyle{ x }[/math] следующее за ним число.

  1. [math]\displaystyle{ 1\in\mathbb{N} }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{N}\Rightarrow S(x)\in\mathbb{N} }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ \nexists x\in\mathbb{N}\colon\big(S(x)=1\big) }[/math];
  4. [math]\displaystyle{ \big(S(b)=a\wedge S(c)=a\big)\Rightarrow b=c }[/math];
  5. [math]\displaystyle{ P(1)\wedge\forall n\Big(P(n)\Rightarrow P\big(S(n)\big)\Big)\Rightarrow\forall n\in\N\big(P(n)\big) }[/math].

Возможна и иная форма записи:

  1. [math]\displaystyle{ 1\in\mathbb{N} }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ S\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{1\} }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ \exist S^{-1} }[/math];
  4. [math]\displaystyle{ 1\in M\land\forall n\in \mathbb{N}\big(n\in M\Rightarrow S(n)\in M\big)\Rightarrow \mathbb{N}\subset M }[/math].

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание [math]\displaystyle{ P }[/math] верно для [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] (база индукции) и для любого [math]\displaystyle{ n }[/math] из верности [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] следует верность и [math]\displaystyle{ P(S(n)) }[/math] (индукционное предположение), то [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] верно для любых натуральных [math]\displaystyle{ n }[/math].

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. [math]\displaystyle{ x+1=S(x) }[/math];
  2. [math]\displaystyle{ x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2) }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ x \cdot 1=x }[/math];
  4. [math]\displaystyle{ x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1 }[/math].

О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.

Категоричность

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если [math]\displaystyle{ (\mathbb N, 1, S) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S) }[/math] — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) [math]\displaystyle{ f \colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N} }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f(1) = \tilde 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f(S(x)) = \tilde S(f(x)) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\in\mathbb N }[/math].

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] за конечное число шагов (с помощью функции [math]\displaystyle{ S }[/math]). Для доказательства выберем в качестве предиката [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] само это утверждение «к числу [math]\displaystyle{ n }[/math] можно перейти от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] за конечное число шагов с помощью функции [math]\displaystyle{ S }[/math]». Верно [math]\displaystyle{ P(1) }[/math]. Верно также [math]\displaystyle{ \Big(P(n)\Rightarrow P\big(S(n)\big)\Big) }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] может быть получено из [math]\displaystyle{ n }[/math] при помощи одного применения операции [math]\displaystyle{ S }[/math] к числу, которое по предположению [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] может быть получено из [math]\displaystyle{ 1 }[/math] за конечное число применений [math]\displaystyle{ S }[/math]. Согласно аксиоме индукции [math]\displaystyle{ \forall n(P(n)) }[/math].

История

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[3]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана[en] в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала [math]\displaystyle{ \epsilon_0. }[/math] Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Примечания

  1. ↑ Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  2. ↑ Доказательство единственности натуральных чисел. Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
  3. ↑ Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Аксиомы_Пеано&oldid=5826662