Ударная адиабата

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабаты

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

[math]\displaystyle{ \rho_1u_1=\rho_2u_2=j, }[/math]

[math]\displaystyle{ p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ h_1+\frac{1}{2}u_{1}^2=h_2+\frac{1}{2}u_{2}^2. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность газа, [math]\displaystyle{ u }[/math] — скорость газа относительно ударной волны, [math]\displaystyle{ h }[/math] — удельная энтальпия газа, [math]\displaystyle{ j }[/math] — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы [math]\displaystyle{ u=j/\rho }[/math], получим уравнение:

[math]\displaystyle{ h_2-h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{\rho_2^2}-\frac{1}{\rho_1^2}\right)=0. }[/math]

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости [math]\displaystyle{ (p,V) }[/math], где [math]\displaystyle{ V=1/\rho }[/math] — удельный объём):

[math]\displaystyle{ j^2=-\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1}, }[/math]

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

[math]\displaystyle{ h_2-h_1-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(V_1+V_2\right)=0. }[/math]

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] как [math]\displaystyle{ h=\varepsilon+pV }[/math], то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_2-\varepsilon_1 -\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(V_1-V_2\right)=0. }[/math]

Особенности ударной адиабаты

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления [math]\displaystyle{ (p_2-p_1)/p_1. }[/math]

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости [math]\displaystyle{ (p,V) }[/math] или [math]\displaystyle{ (p,\rho) }[/math], определяющую зависимость [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] от [math]\displaystyle{ \rho_2 }[/math] при заданных начальных значениях [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho_1 }[/math]. При заданных [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho_1 }[/math] ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать [math]\displaystyle{ p_2 }[/math], то по адиабате Гюгонио можно найти [math]\displaystyle{ \rho_2 }[/math], а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока [math]\displaystyle{ j }[/math] и скорости [math]\displaystyle{ u_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ u_2 }[/math], а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией [math]\displaystyle{ s }[/math], то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой [math]\displaystyle{ s(\rho,p)=\mathrm{const} }[/math], уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде [math]\displaystyle{ f(\rho,p)=\mathrm{const} }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как [math]\displaystyle{ p_1 }[/math], так и [math]\displaystyle{ \rho_1 }[/math]), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Примеры

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа: [math]\displaystyle{ \varepsilon = \lambda \, p \, V }[/math], [math]\displaystyle{ 3/2\leqslant \lambda\leqslant 3 }[/math] . Величина [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] равна [math]\displaystyle{ 3/2 }[/math] для одноатомного идеального газа, [math]\displaystyle{ 5/2 }[/math] — для двухатомного, [math]\displaystyle{ 3 }[/math] — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промужуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде [math]\displaystyle{ \left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{2\lambda +1} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{2\lambda +1} \right)=1 - \frac{1}{(2\lambda +1)^2}~. }[/math]

Левая и правая части положительны, откуда [math]\displaystyle{ V_2\gt \frac{V_1}{2\lambda +1} }[/math], то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в [math]\displaystyle{ 2\lambda +1 }[/math] раз. Второе начало термодинамики ведёт к тому, что [math]\displaystyle{ p_2\geqslant p_1 }[/math], [math]\displaystyle{ V_2\leqslant V_1 }[/math] (для всех ударных адиабат), то есть объём после ударной волны может только уменьшаться, давление — только увеличиваться. (Если [math]\displaystyle{ V_2=V_1 }[/math], то из уравнения следует [math]\displaystyle{ p_2=p_1 }[/math], и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: [math]\displaystyle{ \frac{p_2}{p_1}\frac{V_2}{V_1}=1 }[/math] (закон Бойля — Мариотта).

Примеры для некоторых значений [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

При [math]\displaystyle{ \lambda=3/2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{4} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{4} \right)=\frac{15}{16} }[/math]

При [math]\displaystyle{ \lambda=2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{5} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{5} \right)=\frac{24}{25} }[/math]

При [math]\displaystyle{ \lambda=5/2 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{6} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{6} \right)=\frac{35}{36} }[/math]

При [math]\displaystyle{ \lambda=3 :\qquad\left( \frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{7} \right)\left( \frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{7} \right)=\frac{48}{49} }[/math]

Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.
• Ловля С. А. и др. Закон сохранения энергии // Взрывное дело. — Изд. 2-е. — Москва: Недра, 1976. — С. 37.