Просмотр кода страницы Метрика Лоренца

{{другие значения термина|Лоренц|Лоренц}}
'''Ме́трика Ло́ренца''' — [[Псевдоевклидово пространство|псевдоевклидова]] [[метрический тензор|метрика]] [[пространство Минковского|пространства Минковского]], естественно возникающая в [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]], и в качестве тривиального частного случая — в [[общая теория относительности|общей теории относительности]]. 

Плоское [[пространство Минковского]] с координатами <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z) \ </math>, используемое в [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]], имеет [[метрический тензор]]
: <math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \ </math>

Под <math>x^1, x^2, x^3</math> здесь подразумеваются обыкновенные прямоугольные равномасштабные декартовы координаты, а под <math>t</math> — время, измеренное в данной системе отсчёта, <math>c</math> — [[скорость света]].

Посредством этого тензора определяется ''[[интервал (теория относительности)|интервал]]''
: <math> ds = \sqrt{g_{ij}dx^i dx^j} =  \sqrt{c^2 (dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2},</math>

инвариантный относительно [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] аналог и обобщение 3-мерного расстояния в физическом пространстве на 4-мерное пространство время (в последней формуле двойка означает не индекс, а степень).

Для кривой, все точки которой относятся к одному и тому же моменту времени, формула длины кривой сводится к обычной трёхмерной форме. Для [[пространство Минковского|времениподобной]] кривой, формула длины дает [[пространство Минковского|собственное время]] вдоль кривой.

Метрика Минковского является псевдоевклидовой метрикой: как мы видим, она не положительно определённая, при этом постоянна (представлена не зависящей от координат матрицей в обычных декартовых координатах) и описывает, таким образом, [[Кривизна пространства|плоское]] [[псевдоевклидово пространство]].

Все законы физики (если оставить в стороне [[Гравитация|гравитацию]]) записываются одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, при этом описанная только что метрика Лоренца инвариантна для всех этих систем отсчёта, если использовать естественные физические процедуры измерения. Пересчёт физических величин (в том числе расстояний и углов) между разными системами отсчёта осуществляется [[Преобразования Лоренца|преобразованиями Лоренца]], сохраняющими инвариантность этой метрики.

Важной особенностью метрики Минковского является наличие [[Световой конус|светового конуса]], состоящего из 
[[Изотропный вектор|векторов нулевой длины]] и ограничивающий области [[будущее|будущего]] и [[прошлое|прошлого]] относительно заданного [[событие (теория относительности)|события]].

== Замечания ==

* Для метрики Минковского (лоренцевой метрики), описанной здесь, очень часто применяется специальное обозначение <math>\eta_{ij}\ </math>.
* Иногда метрика Минковского берется с противоположным знаком, то есть <math>(-1,+1,+1,+1)</math>. Более того, исторически такая сигнатура появилась первой у Минковского, который ввел её посредством умножения <math>x^0</math> на мнимую единицу,{{Нет АИ|03|10|2011}} то есть <math>x^0 = \imath c t</math> (тогда метрика формально имела обычный евклидов вид, то есть скалярное произведение вычислялось просто суммированием произведений компонент, но реально была с точностью до знака той же, что и описана в начале этого параграфа).

== Литература ==
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., [[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.]]'' Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
* ''Рашевский П. К.'' Риманова геометрия и тензорный анализ, — Любое издание.
* ''Иванов А. О., Тужилин А. А.'' Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.
* ''Герман Вейль.'' Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности, — Любое издание.
* ''Дирак П. А. М.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1978.djvu Общая теория относительности], — М.: [[Атомиздат]], 1978.
* ''Фок В. А.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Fok1961ru.djvu Теория пространства, времени и тяготения], — М.: ГИФМЛ, 1961.

== См. также ==
* [[Пространство Минковского]]
* [[Псевдоевклидово пространство]]
* [[Преобразования Лоренца]]
* [[Световой конус]]

{{rq|sources}}

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
[[Категория:Общая теория относительности]]
{{C2}}
{{Астрономия:Общие проверки|{{{1|}}}}}