6j-символ

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

6j-символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году.

Понятие 6j-символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента [math]\displaystyle{ j }[/math] и его проекции [math]\displaystyle{ m }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} 1)& j_1 + j_2 = j_{12},\quad j_{12} + j_3 = j,\\ 2)& j_2 + j_3 = j_{23},\quad j_{1} + j_{23} = j,\\ 3)& j_1 + j_3 = j_{13},\quad j_{13} + j_2 = j. \end{matrix} }[/math]

Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента [math]\displaystyle{ j }[/math] и его проекции [math]\displaystyle{ m }[/math]. Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6j-символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6j-символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.

6j-символы выражаются через W-коэффициенты Рака следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6) }[/math]

и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака.

Свойства симметрии

6j-символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ j_4 & j_6 & j_5 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_3 & j_2 & j_1\\ j_6 & j_5 & j_4 \end{Bmatrix}. }[/math]

6j-символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_3\\ j_1 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6\\ j_4 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6\\ j_1 & j_5 & j_3 \end{Bmatrix}. }[/math]

6j-символ

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} }[/math]

не равен нулю, только если [math]\displaystyle{ j_1 }[/math], [math]\displaystyle{ j_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ j_3 }[/math] удовлетворяют условию треугольника, то есть,

[math]\displaystyle{ j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2 + j_3. }[/math]

Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также [math]\displaystyle{ (j_1,j_5,j_6) }[/math], [math]\displaystyle{ (j_4,j_2,j_6) }[/math], и [math]\displaystyle{ (j_4,j_5,j_3) }[/math].

Частные случаи

Если [math]\displaystyle{ j_6 = 0 }[/math], то выражение для 6j-символа принимает вид

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & 0 \end{matrix} \right\} = \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3), }[/math]

где функция [math]\displaystyle{ \Delta(j_1,j_2,j_3) }[/math] равна 1, если [math]\displaystyle{ (j_1,j_2,j_3) }[/math] удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из [math]\displaystyle{ j }[/math] равен нулю.

Соотношения ортогональности

6j-символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

[math]\displaystyle{ \sum_{j_3} (2j_3+1) \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6' \end{Bmatrix} = \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6). }[/math]

Явные выражения

6j-символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

В качестве примера приведём выражение для 6j-символов в виде конечных сумм:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{Bmatrix}=(-1)^{a+c+d+f}\frac{\Delta(abc)\Delta(bdf)}{\Delta(aef)\Delta(cde)}\times }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad\times\sum_n(-1)^n\frac{(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}, }[/math]

где суммирование ведётся по всем n, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения.

См. также

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=6j-символ&oldid=11449244