Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначаются [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] (читается супремум икс) и [math]\displaystyle{ \inf X }[/math] (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определения

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества [math]\displaystyle{ X }[/math] — число [math]\displaystyle{ a }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a }[/math].

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества [math]\displaystyle{ X }[/math] — число [math]\displaystyle{ b }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b }[/math].

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]\displaystyle{ M }[/math] называется наименьший элемент [math]\displaystyle{ M }[/math], который равен или больше всех элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается [math]\displaystyle{ \sup X }[/math].

Более формально:

[math]\displaystyle{ S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\} }[/math] — множество верхних граней [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть элементов [math]\displaystyle{ M }[/math], равных или больших всех элементов [math]\displaystyle{ X }[/math];

[math]\displaystyle{ s=\sup(X)\iff S_X\ni s\;|\;\forall y\in S_X\!:s\leqslant y. }[/math]

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий), подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]\displaystyle{ M }[/math] называется наибольший элемент [math]\displaystyle{ M }[/math], который равен или меньше всех элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается [math]\displaystyle{ \inf X }[/math].

Замечания

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] и [math]\displaystyle{ \inf X }[/math] множеству [math]\displaystyle{ X }[/math] или нет:

в случае [math]\displaystyle{ s=\sup X\in X }[/math] говорят, что [math]\displaystyle{ s }[/math] является максимумом [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ s=\max X }[/math];

в случае [math]\displaystyle{ i=\inf X\in X }[/math] говорят, что [math]\displaystyle{ i }[/math] является минимумом [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ i=\min X }[/math].

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин "upper bound" может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением "low bound".

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. [math]\displaystyle{ \inf }[/math] такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества [math]\displaystyle{ S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\mathbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sup S=1 }[/math]; [math]\displaystyle{ \inf S=0 }[/math].

• Множество положительных рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x\gt 0\} }[/math] не имеет точной верхней грани в [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], точная нижняя грань [math]\displaystyle{ \inf\mathbb{Q}_+=0 }[/math].
• Множество [math]\displaystyle{ X=\{x\in\mathbb Q\mid x^2\lt 2\} }[/math] рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

[math]\displaystyle{ \sup X=\sqrt{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \inf X=-\sqrt{2} }[/math].

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое подмножество действительных чисел [math]\displaystyle{ A }[/math], ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное [math]\displaystyle{ B }[/math], ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют [math]\displaystyle{ \bar a }[/math] и [math]\displaystyle{ \underline b }[/math] такие, что:

[math]\displaystyle{ \bar a = \sup A:\begin{cases} \forall a \in A \Rightarrow a\leqslant \bar a, \\ \forall \bar a'\lt \bar a \,\, \exists a\in A:a \gt \bar a'; \end{cases}\ \ \ \ (1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline b = \inf B:\begin{cases} \forall b \in B \Rightarrow b\geqslant \underline b, \\ \forall \underline b'\gt \underline b \,\, \exists b \in B: b \lt \underline b'; \end{cases}\ \ \ \ (2) }[/math]

Доказательство

Для непустого множества [math]\displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] в виде бесконечных десятичных дробей: [math]\displaystyle{ x=\overline{x_0,x_1\dots x_m \dots} }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb N\cup\{0\};\; \forall i\in\mathbb N,\,x_i }[/math] — цифра.

Множество [math]\displaystyle{ X_0=\{x_0\mid \forall \overline{x_0,x_1\ldots x_m \ldots} \in X\} }[/math] непусто и ограниченно сверху по определению [math]\displaystyle{ X }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ X_0\subset\mathbb N\cup\{0\} }[/math] и ограничено сверху, существует конечное число элементов [math]\displaystyle{ X_0 }[/math], больших некоторого [math]\displaystyle{ \tilde{x}_0\in X_0 }[/math] (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность [math]\displaystyle{ X_0 }[/math] сверху). Среди таких выберем [math]\displaystyle{ a_0=\max X_0 }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ X_1=\{\overline{a_0,x_1}\mid\forall\overline{a_0,x_1\ldots x_m\ldots}\in X\} }[/math] непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует [math]\displaystyle{ a_1=\max X_1 }[/math].

Допустим, что для некоторого номера [math]\displaystyle{ m }[/math] построено десятичное число [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m} }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \exists x \in X:x=\overline{a_0,a_1\ldots a_m\ldots} }[/math], причём [math]\displaystyle{ \forall x \in X:x=\overline{x_0,x_1\ldots x_m\ldots}\Rightarrow \overline{x_0,x_1\ldots x_m}\leqslant \overline{a_0,a_1\ldots a_m} }[/math] (десятичная запись всякого элемента исходного множества до [math]\displaystyle{ m }[/math]-го знака после запятой не превосходит [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m} }[/math], причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с [math]\displaystyle{ a_0,a_1\dots a_m }[/math]).

Обозначим [math]\displaystyle{ X_{m+1}=\{\overline{a_0,\ldots a_{m+1}}\mid\forall\overline{a_0,\ldots a_{m+1}\ldots}\in X\} }[/math] (множество из элементов [math]\displaystyle{ X }[/math], начинающихся в десятичной записи с [math]\displaystyle{ a_0,a_1\dots a_m a_{m+1} }[/math]). По определению числа [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\ldots a_m} }[/math], множество [math]\displaystyle{ X_{m+1} }[/math] непусто. Оно конечно, поэтому существует число [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m a_{m+1}}= \max X_{m+1} }[/math], обладающее теми же свойствами, что и [math]\displaystyle{ a_m }[/math].

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого [math]\displaystyle{ n }[/math] оказывается определенной цифра [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

[math]\displaystyle{ a\equiv \overline{a_0,a_1 \ldots a_n \ldots} \in \mathbb R }[/math].

Возьмем произвольное число [math]\displaystyle{ x \in X, x=\overline{x_0,x_1\dots x_n \dots} }[/math]. По построению числа [math]\displaystyle{ a }[/math], для любого номера [math]\displaystyle{ n }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ \overline{x_0,x_1\dots x_n}\leqslant \overline{a_0,a_1\dots a_n} }[/math] и поэтому [math]\displaystyle{ x \leqslant a }[/math]. Поскольку рассуждение выполнено [math]\displaystyle{ \forall x\in X }[/math], то [math]\displaystyle{ a= \sup X }[/math], причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения [math]\displaystyle{ a }[/math].

Выберем [math]\displaystyle{ a'\lt a }[/math]. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи [math]\displaystyle{ a' }[/math] меньше соответствующей в записи [math]\displaystyle{ a }[/math]. Рассмотрим полученое [math]\displaystyle{ X_i }[/math] по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, [math]\displaystyle{ \exists x\in X_i\subset X:x\gt a' }[/math].

Доказательство, использующее принцип полноты

Для непустого множества [math]\displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху, рассмотрим [math]\displaystyle{ \overline X }[/math] — непустое множество верхних граней [math]\displaystyle{ X }[/math]. По определению, [math]\displaystyle{ \overline x\geqslant x,\forall x\in X,\forall \overline x\in\overline X }[/math] (множество [math]\displaystyle{ X }[/math] лежит левее [math]\displaystyle{ \overline X }[/math]). Согласно непрерывности, [math]\displaystyle{ \exists c\in\mathbb R:\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall\overline x\in\overline X }[/math]. По определению [math]\displaystyle{ \overline X }[/math], в любом случае [math]\displaystyle{ c\in \overline X }[/math] (иначе [math]\displaystyle{ \overline X }[/math] — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как [math]\displaystyle{ c }[/math] является наименьшим элементом [math]\displaystyle{ \overline X }[/math], то [math]\displaystyle{ c=\sup X }[/math].

Проверим вторую строку определения. Выберем [math]\displaystyle{ c'\lt c }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \not\exists x\in X:x\gt c' }[/math], тогда [math]\displaystyle{ \forall x\in X:x\leqslant c' }[/math], а это значит, что [math]\displaystyle{ c'\in\overline X }[/math], но [math]\displaystyle{ c'\lt c }[/math], а [math]\displaystyle{ c }[/math] — наименьший элемент [math]\displaystyle{ \overline X }[/math]. Противоречие, значит [math]\displaystyle{ \exists x\in X:x\gt c' }[/math]. Вообще говоря, рассуждение верно [math]\displaystyle{ \forall c' }[/math].

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] существует [math]\displaystyle{ \sup }[/math].
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] существует [math]\displaystyle{ \inf }[/math].
• Вещественное число [math]\displaystyle{ s }[/math] является [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] тогда и только тогда, когда:

[math]\displaystyle{ s }[/math] есть верхняя грань [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть для всех элементов [math]\displaystyle{ x\in X }[/math], [math]\displaystyle{ x\leqslant s }[/math];

для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] найдётся [math]\displaystyle{ x\in X }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ x+\varepsilon \gt s }[/math] (то есть к [math]\displaystyle{ s }[/math] можно сколь угодно «близко подобраться» из множества [math]\displaystyle{ X }[/math], а при [math]\displaystyle{ s\in X }[/math] очевидно, что [math]\displaystyle{ s+\varepsilon \gt s }[/math]).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.