Терм (логика)

Терм — выражение формального языка (системы) специального вида. По аналогии с естественным языком, где именная группа ссылается на объект, а целое предложение ссылается на факт, в математической логике терм обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термы появляются как компоненты формулы.

Терм первого порядка рекурсивно определяется из символов постоянных, переменных и функций^[англ.]. Выражение, полученное путём применения предикатного символа к соответствующему количеству термов, называется логическим атомом, значение которого в двузначной логике на основе логической интерпретации^[англ.] оценивается как «истина^[англ.]^*» или «ложь^[англ.]». Например, [math]\displaystyle{ (x+1)*(x+1) }[/math] — это терм, построенный из константы 1, переменной x и символов двоичной функции [math]\displaystyle{ + }[/math] и [math]\displaystyle{ * }[/math]; это часть атомарной формулы [math]\displaystyle{ (x+1)*(x+1) \ge 0 }[/math], которая принимает значение «истина» для любого вещественного x.

Помимо логики, термы играют важную роль в универсальной алгебре и системах переписывания.

Множество [math]\displaystyle{ T(\Sigma) }[/math] термов сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma=\lt R, F,\mu\gt }[/math], где [math]\displaystyle{ R }[/math] — множество предикатов, [math]\displaystyle{ F }[/math] — множество функций, а [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — отображение арности для [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], определяется индуктивно:

переменные [math]\displaystyle{ x \in V }[/math] являются термами сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]
если [math]\displaystyle{ t_1,...,t_n }[/math] терм сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], [math]\displaystyle{ f \in F }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu(f) = n }[/math], то [math]\displaystyle{ f(t_1,...,t_n) }[/math] — терм сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math].

Запись [math]\displaystyle{ \Theta(\tau_1,...,\tau_n) }[/math] при [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ \Theta }[/math]. В частности, из пункта 2 получаем, что символ [math]\displaystyle{ c \in F }[/math] константы сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] является термом сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]^[1].

Примечания

↑ Ершов, 1987, с. 103.

Литература

Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.

[_ea4144cbe902a8cb-1] Ершов, 1987, с. 103.

[1]