Невязка

Невязка — величина ошибки (расхождения) приближённого равенства.

Пусть требуется найти такое x, что значение функции:

[math]\displaystyle{ f(x)=b. }[/math]

Подставив приближенное значение x₀ вместо x, получаем невязку

[math]\displaystyle{ b - f(x_0) }[/math]

а ошибка в этом случае равна

[math]\displaystyle{ x - x_0 }[/math].

Если точное значение x неизвестно, вычисление ошибки невозможно, однако при этом может быть определена невязка.

Невязка аппроксимации функции

Схожее название используется в дифференциальных, интегральных и функциональных уравнениях.

Для аппроксимации [math]\displaystyle{ f_{\rm a} }[/math] решения [math]\displaystyle{ f }[/math] уравнения

[math]\displaystyle{ T(f)(x)=g(x) }[/math] ,

невязка может быть функцией

[math]\displaystyle{ g(x)~ - ~T(f_{\rm a})(x) }[/math]

или по-другому максимумом нормы разности

[math]\displaystyle{ \max_{x\in \mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)| }[/math] на области [math]\displaystyle{ \mathcal X }[/math], где функция

[math]\displaystyle{ f_{\rm a} }[/math] есть усреднённое решение [math]\displaystyle{ f }[/math], или некоторый интеграл функции разности, например,

[math]\displaystyle{ \int_{\mathcal X} |g(x)-T(f_{\rm a})(x)|^2~{\rm d} x. }[/math]

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f_{\rm a}(x) - f(x)}{f(x)}\right| \ll 1. }[/math]

В этом случае начальное уравнение принималось за корректное; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

Использование невязок

Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в итерационных методах, таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.

В навигации невязкой называется расстояние между вычисленным по прокладке местоположением судна и фактически определённым (по светилам, маякам и т.д.) местоположением, измеряется в морских милях.