Геодезическая система координат

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Геодези́ческая систе́ма координа́т — система координат, используемая для определения местоположения объектов на Земле. Отсчётной поверхностью является эллипсоид вращения или Ортогональная система координат, представляющий собой референц-версию, то есть адаптированный к какой-либо территории датум, геоцентрической системы координат.

Так как форма Земли является не шаром, для которого подходили бы астрономические координаты, а эллипсоидом, у которого отвесная линия не совпадает с нормалью к его поверхности, для измерений на поверхности планеты приходится использовать не астрономические, а геодезические координаты. При составлении географических карт этим отклонением пренебрегают.

Геодезические координаты используются в геодезии и навигации, в топографической съемке и картографии, а также спутниковыми навигационными системами для определения местоположения объектов на Земле в реальном времени. Положение точки в геодезической системе координат характеризуется математическими координатами абсциссой — [math]\displaystyle{ Y, }[/math] ординатой — [math]\displaystyle{ X }[/math] и аппликатой — [math]\displaystyle{ Z, }[/math] и астрономическими:широтой — [math]\displaystyle{ B, }[/math] долготой — [math]\displaystyle{ L }[/math] и зенитом — [math]\displaystyle{ H. }[/math] Которые, в свою очередь, взаимосвязаны между собой через геодезический азимут.

Геодезическая прямоугольная система координат (Математическая локальная)

Рисунок 1. Проекция приведенной широты на ось абсцисс.

В геодезии используют прямоугольную систему координат, начало [math]\displaystyle{ O }[/math] которой находится в центре масс Земли, ось [math]\displaystyle{ Z }[/math] направлена по оси вращения Земли, ось [math]\displaystyle{ X }[/math] совмещена с линией пересечения плоскостей экватора и начального (гринвичского) меридиана, ось [math]\displaystyle{ Y }[/math] дополняет систему до правой. Такую систему координат называют геоцентрической или общеземной. В общеземной системе координат определяют положение пунктов на всей поверхности Земли. К таким можно отнести WGS-84, GRS80, ПЗ-90.

Если система координат введена для определения положения точек на части земной поверхности, например, на территории одного государства, её начало [math]\displaystyle{ O }[/math] может быть значительно (до сотен метров) смещено относительно центра масс. В этом случае говорят о референцной системе координат.

Из-за неизбежных ошибок измерений при практическом задании общеземной системы возможно несовпадение её начала с центром масс Земли и повороты осей. В связи с этим существуют несколько реализаций общеземной геоцентрической системы координат, и возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Задача преобразования координат возникает также при переходе от референцной системы координат к общеземной и обратно[1].

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при одновременном переносе начала системы и повороте осей выполняют с помощью преобразования Гельмерта. Преобразование Гельмерта это преобразование с 7 элементами, с 3 параметрами смещения [math]\displaystyle{ c_x,~c_y,~c_z, }[/math] 3 параметрами разворота [math]\displaystyle{ r_x,~r_y,~r_z }[/math] и 1 масштабным параметром [math]\displaystyle{ s. }[/math] Преобразование Гельмерта — это приближённый метод, который можно считать точным только, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов геоцентрической системы координат или такие параметры не учитываются. С такими условиями преобразование можно считать обратимым. Прочие последующие преобразование (преобразование Молоденского — 10 параметров и преобразование Молоденского — Бадекаса — 14 параметров), учитывающие дополнительные данные, осуществляются в несколько этапов, сложны и, как правило, необратимы. ввиду чего такие системы координат создаются строго на локальных участках с помощью Геодезических сетей III, IV классов, 1 и 2 разрядов. И используемые для решения исключительно прикладных задач на территории по площади не превышающей 3000—5000 км²[2][3][4][5].

Геодезическая эллипсоидальная система координат (Астрономическая глобальная)

Рисунок 2. Геодезическая эллипсоидальная система координат.

Геодезическая эллипсоидальная система координат [math]\displaystyle{ B,~L,~H }[/math] связана с эллипсоидом. Координатными линиями в этой системе являются нормали к эллипсоиду.

Геодезическая широта [math]\displaystyle{ B }[/math] — это угол между нормалью [math]\displaystyle{ PP_o~O_p }[/math] к эллипсоиду и плоскостью экватора.

Геодезическая долгота [math]\displaystyle{ L }[/math] — угол между плоскостью [math]\displaystyle{ Y = 0 }[/math] начального меридиана и плоскостью [math]\displaystyle{ ZOP }[/math] меридиана точки [math]\displaystyle{ P. }[/math]

Геодезическая высота [math]\displaystyle{ H }[/math] — отрезок [math]\displaystyle{ P_o~P }[/math] нормали к эллипсоиду[как?].

Формулы перехода

Рисунок 3. Связь геодезических прямоугольной и эллипсоидальной систем координат.

Геодезические прямоугольные и эллипсоидальные системы согласованы друг с другом. Центры этих систем совмещены, ось [math]\displaystyle{ Z }[/math] прямоугольной системы проходит вдоль малой оси эллипсоида, оси [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] совпадают. Связь систем устанавливают формулы представленные ниже.

Прямой переход

[math]\displaystyle{ X=(N+H)\cos B \cos L; }[/math]
[math]\displaystyle{ Y=(N+H)\cos B \sin L; }[/math]
[math]\displaystyle{ Z=(N+H-Ne^2)\sin B, }[/math]
где [math]\displaystyle{ N }[/math] — радиус кривизны первого вертикала, равный отрезку [math]\displaystyle{ O_p~P_o }[/math] на рисунке 3, [math]\displaystyle{ e }[/math] — эксцентриситет.

[math]\displaystyle{ N }[/math] находится по формуле:

[math]\displaystyle{ N=a/\surd(1-e^2 \sin^2 B), }[/math]
где [math]\displaystyle{ a }[/math] — большая полуось эллипсоида[1].

Обратный переход

От геодезических эллипсоидальных координат к прямоугольным выполняют следующим образом: определяют долготу [math]\displaystyle{ L }[/math] и радиус [math]\displaystyle{ Q }[/math] параллели точки [math]\displaystyle{ P }[/math] — отрезок [math]\displaystyle{ OP1. }[/math] Это возможно сделать разными способами, например:

[math]\displaystyle{ tgL=Y/X;Q=X \cos L + Y \sin L, }[/math]

или:

[math]\displaystyle{ Q = \sqrt(X^2+Y^2); \sin L = Y/Q; \cos L = X/Q. }[/math]

Для широты находят:

[math]\displaystyle{ tgB=(Z+Ne^2 \sin B)/Q. }[/math]

Широту [math]\displaystyle{ B }[/math] вычисляют методом приближений, причем в начальном приближении можно использовать разные её значения. Наиболее удобно найти в первом приближении приведенную широту [math]\displaystyle{ u }[/math] точки [math]\displaystyle{ P1 }[/math] отсчетного эллипсоида, лежащего на пересечении его поверхности с радиусом-вектором внешней точки [math]\displaystyle{ P }[/math][1]:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} u = Z/(Q \sqrt(1-e^2)/ }[/math]

Приведенной широтой точки [math]\displaystyle{ P1 }[/math] эллипсоида называют геоцентрическую широту точки [math]\displaystyle{ P', }[/math] являющейся проекцией точки [math]\displaystyle{ P1 }[/math] на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости экватора. Приведенная и геодезическая широта связаны равенством:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} u=\sqrt(1-e^2) \operatorname{tg}B. }[/math]

После вычисления приведенной широты геодезическую широту находят по формуле Боуринга:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} B=(Z+e^2 (a \sin^3 a)/(\sqrt(1-e^2) \operatorname{tg} B))/(Q-e^2 a \cos^3 a) }[/math]

Геодезическую высоту [math]\displaystyle{ H }[/math] вычисляют по формуле:

[math]\displaystyle{ H=Q \cos B+Z \sin B - a \sqrt(1-e^2\sin^2 B) }[/math][1].

Референцные (Аппроксимированные приближенные)

Отсчетный эллипсоид может располагаться внутри Земли по-разному. Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а его поверхность близка к поверхности геоида, то эллипсоид называют геоцентрическим, не стоит путать с общеземным. Если эллипсоид близок к геоиду на ограниченной площади, а центр его смещен относительно центра масс, его называют референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид, как правило, устанавливается для использования в геодезический работах в той или иной стране, отсюда и его название (референция, то есть рекомендация)[1].

Данная система, основанная на Референц-эллипсоиде, поддерживалась и использовалась в ряде научных и прикладных задач до 1961 пунктами Лапласа и астропунктами II класса, которые были частично обращены в Геодезические сети сгущения II класса, и продолжались использоваться как экспедиционные пункты II класса преимущественно в необжитых и мало обжитых районах, как обоснования для мелкомасштабных географических съемок. После 1961 г геодезические сети II класса начинают строить в виде сплошных сетей треугольников, полностью заполняющих полигоны АГС I. Работы по созданию государственной геодезической сети были в основном закончены к 1989 году. Сеть пунктов I-го и II-го классов сплошь покрывала территорию страны. В 1990 году приказом ГУГК при Совете Министров СССР создано опытно-производственное подразделение МАГП (Московского аэрогеодезического предприятия) для производства работ с использованием спутниковых систем в соответствии с концепцией перехода топографо-геодезического производства на современные методы спутниковых определений, получившее наименование ВАГП (Верхневолжского аэрогеодезического предприятия). Результаты работ проводимых в 1991 показали не удовлетворительное состояние сети. В 1993—1995 в уравнивание включены: Космическая и Доплеровская сети (служившие основанием для Геоцентрической системы ПЗ-90). В 1996 было проведено заключительного уравнивания и к концу 1990-х, построена сеть из 134 опорных пунктов ГГС включавших 35 пунктов КГС и ДГС, покрывающая всю территорию страны при среднем расстоянии между смежными пунктами 400—500 км[6][7][8][9][10][11].

Постановлением правительства РФ от 24 ноября 2016 года за номером 1240 использование системы координат СК-42 допускается до 1 января 2021 г. Взамен вводится геоцентрическая система ГСК-2011 основанная на ПЗ-90 (являющаяся датумом общеземного элипсоида ITRF).

Земной эллипсоид

Эллипсоид можно задать двумя параметрами:

Параметр Символ
Большая полуось а
Геометрическое сжатие [math]\displaystyle{ 1/f }[/math]

Из а и [math]\displaystyle{ 1/f }[/math] можно вывести другие параметры эллипсоида:

Параметр Символ
Малая полуось [math]\displaystyle{ b=a(1-f) }[/math]
Первый эксцентриситет [math]\displaystyle{ e^2=1-b^2/a^2 =f(2-f) }[/math]
Второй эксцентриситет [math]\displaystyle{ e'^2=a^2/b^2-1=(f(2-f))/(1-f)^2 }[/math]

Список литературы

Ссылки

  • https://geographiclib.sourceforge.io (включает в себя утилита CartConvert, который преобразует геодезические координаты в геоцентрические (ECEF) или в локальные декартовые (ENU) координаты. Это обеспечивает точные результаты для всех входных данных, включая точки, близкие к центру Земли.
  • https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/15285-geodetic-toolbox (Набор геодезических функций, которые решают различные задачи геодезии в среде Matlab).

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия / рецензенты=В. Н. Баранов рецензенты=А. Н. Зуева. — Москва: Геодезкартиздат, 2006. — С. 36–41. — 384 с. — ISBN 5-86066-076-6.
  2. ↑ Geomatics Guidance Note Number 7, part 2. Coordinate Conversions and Transformations including Formulas (недоступная ссылка). International Association of Oil and Gas Producers (OGP). Архивировано 6 марта 2014 года.
  3. ↑ Судаков С. Г. § 2. Схема построения геодезической сети СССР // Основные Геодезические Сети. — Москва: "Недра", 1975. — С. 24—25. — 368 с.
  4. ↑ Яковлев Н. В. § 10. Геодезические сети. Их назначение. // Высшая геодезия. — Москва: Недра, 1989. — С. 35. — 445 с. — 8600 экз.
  5. ↑ Генике А. А., Побединский Г. Г. § 7.4. Создание и реконструкция городских геодезических сетей с использованием спутниковых технологий. // Глобальные спутниковые системы определения местоположения и их применение в геодезии.. — Москва: ФГУП «Картгеоцентр», 2004. — С. 249. — 352 с.
  6. ↑ Судаков С. Г. 1. Развитие Основных геодезических сетей в СССР // Основные Геодезические Сети. — Москва: "Недра", 1975. — С. 9,21. — 368 с.
  7. ↑ Яковлев Н. В. § 18. Построение Государственной геодезической сети СССР в соответствии с основными положениями 1954—1961 гг. // Высшая геодезия. — Москва: Недра, 1989. — С. 63. — 445 с. — 8600 экз.
  8. ↑ Пандул И. С. 6.1. Задачи геодезической астрономии. Классификация астропунктов // Геодезическая Астрономия Применительно к решению инженерно-геодезических задач. — Санкт-Петербург: "Политехника", 2010. — С. 162—163. — 324 с.
  9. ↑ Генике А. А. Побединский Г. Г. 7.3. Построение государственной геодезической сети России на основе спутниковых технологий // Глобальные спутниковые системы определения местоположения и их применение в геодезии. — Москва: ФГУП «Картгеоцентр», 2004. — С. 246,269. — 352 с.
  10. ↑ Ермаков В. С., Михаленко Е. Б., Загрядская Н. Н., Беляев Н. Д., Духовской Ф. Н. 2. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ // Инженерная геодезия. Геодезические сети. — Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2003. — С. 11,16. — 40 с.
  11. ↑ Антонович К. М. 2 Системы координат и времени в спутниковых технологиях // Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. — Москва, 2006. — Т. 1. — С. 66,67.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Геодезическая_система_координат&oldid=12886194