Полуширина
Полная ширина на уровне половины высоты или ширина (англ. full width at half maximum, FWHM) — полная ширина, рассчитанная как разница между максимальным и минимальным значениями аргумента функции, взятыми на уровне равном половине её максимального значения.
Ширина применяется к таким явлениям как длительность импульсных сигналов и спектральная ширина источников сигнала, используемых для оптических телекоммуникаций и разрешения спектрометров. Также при расчёте размера частиц на основе ширины рентгеновских линий по формуле Шеррера.
Договорённость о том, что ширина подразумевается по уровню половинной амплитуды широко используется в обработке сигналов для определения полосы пропускания фильтров, которая определяется как ширина частотного диапазона в котором ослабление сигнала не превышает половины его исходной мощности (в отличие от энергии!) или мощность составляет как минимум половину исходной. На языке обработки сигналов ослабление на 3 дБ (в 2 раза в линейной шкале), или ширина сигнала по уровню половинной мощности.
В случае нормального распределения полная ширина на уровне половинной высоты определяется выражением:
- [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } \exp \left[ -\frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right]\,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — стандартное отклонение, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] может принимать любое значение (ширина функции не зависит от положения). Отношение между шириной и стандартным отклонением определяется выражением:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{FWHM} = 2 \sqrt{2 \ln (2) } \; \sigma \approx 2.355 \; \sigma\,. }[/math]
Гиперболический секанс — это другая важная функция, относящаяся к солитонам в оптике:
- [math]\displaystyle{ f(x)=\operatorname{sch} \left( \frac{x}{X} \right)\,. }[/math]
Без сдвига, который не влияет на ширину, получаем выражение для этого импульса в виде:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{FWHM} = 2 \; \operatorname{arsch} \left( \frac{1}{2} \right) X = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \; X \approx 2.633 \; X \,, }[/math]
где arsch обозначает обратный гиперболический секанс.
Помимо понятия полной ширины на уровне половинной амплитуды (FWHM) используют половинную ширину на уровне половинной амплитуды (англ. HWHM — half width at half maximum, HWHM=FWHM/2).
Астрономические наблюдения
В астрономии принято использовать понятие ширины для описания качества изображения точечного источника излучения. Традиционно указывается ширина в угловых секундах, что характеризует степень невозмущённости атмосферы. Чем меньше ширина, тем выше разрешение снимков и больше прозрачность атмосферы. В лучших горных астрономических обсерваториях мира (Мауна-Кеа, Параналь (Чили), Майданак) атмосфера позволяет получать изображения с качеством ширины порядка 1" бо́льшую часть наблюдательного времени. Ширина меньше 0.5" на Земле практически не встречается. В средней полосе России ширина в спокойную ночь составляет около 2"-3".