ARIMA

Не следует путать с Arima.

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель [math]\displaystyle{ ARIMA(p,d,q) }[/math] означает, что разности временного ряда порядка [math]\displaystyle{ d }[/math] подчиняются модели [math]\displaystyle{ ARMA(p, q) }[/math].

Формальное определение модели

Модель [math]\displaystyle{ ARIMA(p, d, q) }[/math] для нестационарного временного ряда [math]\displaystyle{ X_t }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \triangle^d X_t=c+\sum_{i=1}^p a_i\triangle^d X_{t-i}+\sum_{j=1}^q b_j\varepsilon_{t-j}+\varepsilon_t }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_t }[/math] — стационарный временной ряд;

[math]\displaystyle{ c, a_i, b_j }[/math] — параметры модели.

[math]\displaystyle{ \triangle^d }[/math] — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как [math]\displaystyle{ ARMA(p+d, q) }[/math]- модель с [math]\displaystyle{ d }[/math] единичными корнями. При [math]\displaystyle{ d=0 }[/math] имеем обычные [math]\displaystyle{ ARMA }[/math]-модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора [math]\displaystyle{ L:~Lx_t=x_{t-1} }[/math] данные модели можно записать следующим образом:

[math]\displaystyle{ (1-L)^d X_t=c+(\sum_{i=1}^p a_iL^i)(1-L)^d X_t+(1+\sum_{j=1}^q b_j L^j)\varepsilon_t }[/math],

или сокращённо:

[math]\displaystyle{ a(L)(1-L)^d X_t=c+ b(L)\varepsilon_t }[/math].

где [math]\displaystyle{ a(L)=1-\sum_{i=1}^p a_iL^i }[/math]

[math]\displaystyle{ b(L)=1+\sum_{j=1}^q b_j L^j }[/math]

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

[math]\displaystyle{ x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t \Rightarrow \triangle x_t=(1-L)x_t=\varepsilon_t }[/math]

Следовательно это модель [math]\displaystyle{ ARIMA(0,1,0) }[/math].

Интегрированные временные ряды

Основная статья: Интегрированный временной ряд

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной [math]\displaystyle{ X_t }[/math] ряд называется интегрированным порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] (обычно пишут [math]\displaystyle{ X_t \sim I(k) }[/math]), если разности ряда порядка [math]\displaystyle{ k }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \triangle^k x_t }[/math] являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности [math]\displaystyle{ I(0) }[/math] — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок [math]\displaystyle{ d }[/math] модели [math]\displaystyle{ ARIMA(p, d, q) }[/math].

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка [math]\displaystyle{ d }[/math]).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности [math]\displaystyle{ d }[/math] временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия [math]\displaystyle{ d }[/math]-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных [math]\displaystyle{ d }[/math] (разложение в ряд Тейлора):

[math]\displaystyle{ \triangle^d =(1-L)^d=\sum_{k=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{k-1}(d-j) \frac {(-1)^k} {k!} L^k }[/math].

Литература

• Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.