Уравнение Фишера
Уравнение Фишера (также называемое эффектом Фишера и гипотезой Фишера) — уравнение, описывающее связь между темпом инфляции, номинальной и реальной ставками процента. Названо в честь Ирвинга Фишера.
Уравнение
Уравнение имеет следующий вид[1].
- [math]\displaystyle{ i=r+\pi }[/math],
где [math]\displaystyle{ i }[/math] — номинальная ставка процента; [math]\displaystyle{ r }[/math] — реальная ставка процента; [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — темп инфляции.
Экономический смысл
Уравнение в приближенной форме (см. Вывод) описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам:
- из-за изменений реальной ставки процента;
- из-за изменения темпа инфляции.
Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок. Поэтому он заинтересован в том, чтобы получить не только определенный доход, но и компенсировать падение покупательной способности денег в будущем. Например, если инвестор положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.
В уравнении может использоваться как фактический темп инфляции [math]\displaystyle{ \pi }[/math], так и его ожидаемое значение [math]\displaystyle{ \pi^e }[/math]. В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.
Вывод
Уравнение в приведенной выше форме является приближенным. Оно выполняется тем точнее, чем меньше по модулю значения [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Поэтому с математической точки зрения правильно писать приближенное равенство:
- [math]\displaystyle{ i\approx r+\pi }[/math],
Точная запись уравнения выглядит следующим образом:
- [math]\displaystyle{ 1 + i = (1 + r)\times(1 + \pi) }[/math]
Если раскрыть скобки, то получится следующая запись:
- [math]\displaystyle{ 1 + i = 1 + r + \pi + r\pi }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ i = r + \pi + r\pi }[/math]
С точки зрения математического анализа, если [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi }[/math] стремятся к нулю, то произведение [math]\displaystyle{ r\pi }[/math] является бесконечно малой более высокого порядка. Поэтому при малых (по модулю) значениях [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi }[/math] произведением [math]\displaystyle{ r\pi }[/math] можно пренебречь. В результате получится упомянутая выше приближенная запись.
Пусть, например, [math]\displaystyle{ r=\pi=1 \% }[/math]. Тогда сумма этих величин равна 2 %, а произведение — 0,01 %. Если же взять [math]\displaystyle{ r=\pi=10 \% }[/math], то сумма получится равной 20 %, а произведение 1 %. Таким образом, с ростом значений погрешность в расчетах становится все больше.
Точную запись можно также преобразовать к следующему виду, предложенному Фишером:
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1 + i}{1 + \pi} - 1 = \frac{i - \pi}{1 + \pi} }[/math]
В тривиальных случаях при [math]\displaystyle{ \pi = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ \pi = i }[/math] обе формулы (точная и приближенная) дают одинаковое значение реальной процентной ставки.
См. также
Примечания
- ↑ Вечканов и др., 2008, с. 55.
Литература
- Вечканов Г. C., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2008. — С. 55. — (Серия «Краткий курс»). — ISBN 978-5-91180-108-3.
- Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб.. — М.: Дело, 2000. — 400 с.