Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_2=b_{11}U_1+b_{12}I_1 \\ I_2=b_{21}U_1+b_{22}I_1 \\ \end{cases};~~~ \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} }[/math]

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные или комплексные параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей.
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z11, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений.
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами.
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G-это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров
[math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ g_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad g_{12} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_1 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{21} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad g_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{U_1 = 0} }[/math]
[math]\displaystyle{ H }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ h_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad h_{12} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_1 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{21} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad h_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{I_1 = 0} }[/math]
[math]\displaystyle{ Y }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ y_{11} = \left. \frac{I_1}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad y_{12} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{U_1 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad y_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{U_1 = 0} }[/math]
[math]\displaystyle{ Z }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ z_{11} = \left. \frac{U_1}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad z_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{I_1 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{21} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad z_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{I_1 = 0} }[/math]
[math]\displaystyle{ A }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ a_{11} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad a_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ a_{21} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad a_{22} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0} }[/math]
[math]\displaystyle{ B }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} }[/math]		[math]\displaystyle{ b_{11} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad b_{12} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0} }[/math] [math]\displaystyle{ b_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad b_{22} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0} }[/math]

Преобразование параметров

Принцип преобразования

В качестве примера преобразуем h-параметры четырёхполюсника в y-параметры. Для этого нужно осуществить следующее преобразование системы уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_1=h_{11}I_1+h_{12}U_2 \\ I_2=h_{21}I_1+h_{22}U_2 \end{cases} \to ~~~ \begin{cases} I_1=y_{11}U_1+y_{12}U_2 \\ I_2=y_{21}U_1+y_{22}U_2 \end{cases}. }[/math]

Из первого уравнения исходной системы выразим I₁:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} I_1=\frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2\\ I_2=h_{21}I_1+h_{22}U_2 \end{cases}. }[/math]

Первое уравнение подставим во второе:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} I_1=\frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \\ I_2=h_{21} \left( \frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \right) +h_{22}U_2 \end{cases}. }[/math]

Преобразуем второе уравнение:

[math]\displaystyle{ I_2= \frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 + \left( h_{22}-\frac{h_{12}h_{21}}{h_{11}} \right) U_2 = \frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{h_{11}} U_2 = \frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{\Delta_h}{h_{11}} U_2, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta_h = h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}. }[/math]

Получаем систему уравнений

[math]\displaystyle{ \begin{cases} I_1=\frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \\ I_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{\Delta_h}{h_{11}} U_2 \end{cases}. }[/math]

Сравнивая её с целевой системой, получаем выражения для коэффициентов:

[math]\displaystyle{ y_{11}=\frac{1}{h_{11}}; ~~~ y_{12}=-\frac{h_{12}}{h_{11}}; ~~~ y_{21}=\frac{h_{21}}{h_{11}}; ~~~ y_{22}=\frac{\Delta_h}{h_{11}}; }[/math]

Определитель новой системы находим простой подстановкой:

[math]\displaystyle{ \Delta_y = y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21} = \frac{1}{h_{11}} \frac{\Delta_h}{h_{11}} + \frac{h_{12}}{h_{11}}\frac{h_{21}}{h_{11}} = \frac{h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h^2_{11}} = \frac{h_{22}}{h_{11}}. }[/math]

	[math]\displaystyle{ H }[/math]	[math]\displaystyle{ Y }[/math]	[math]\displaystyle{ Z }[/math]	[math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ A }[/math]
[math]\displaystyle{ H }[/math]		[math]\displaystyle{ h_{11}=1/y_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{12}=-y_{12}/y_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{21}=y_{21}/y_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{22}=\Delta_y/y_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_h=y_{22}/y_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ h_{11}=\Delta_z/z_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{12}=z_{12}/z_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{21}=-z_{21}/z_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ h_{22}=1/z_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_h=z_{11}/z_{22} }[/math]	[math]\displaystyle{ h_{11}=g_{22}/\Delta_g }[/math] [math]\displaystyle{ h_{12}=-g_{12}/\Delta_g }[/math] [math]\displaystyle{ h_{21}=-g_{21}/\Delta_g }[/math] [math]\displaystyle{ h_{22}=g_{11}/\Delta_g }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_h=1/\Delta_g }[/math]	[math]\displaystyle{ h_{11}=B/D }[/math] [math]\displaystyle{ h_{12}=\Delta_A/D }[/math] [math]\displaystyle{ h_{21}=-1/D }[/math] [math]\displaystyle{ h_{22}=C/D }[/math]
[math]\displaystyle{ Y }[/math]	[math]\displaystyle{ y_{11}=1/h_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{12}=-h_{12}/h_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{21}=h_{21}/h_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{22}=\Delta_h/h_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_y=h_{22}/h_{11} }[/math]		[math]\displaystyle{ y_{11}=z_{22}/\Delta_z }[/math] [math]\displaystyle{ y_{12}=-z_{12}/\Delta_z }[/math] [math]\displaystyle{ y_{21}=-z_{21}/\Delta_z }[/math] [math]\displaystyle{ y_{22}=z_{11}/\Delta_z }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_y=1/\Delta_z }[/math]	[math]\displaystyle{ y_{11}=\Delta_g/g_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{12}=g_{12}/g_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{21}=-g_{21}/g_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{22}=1/g_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_y=g_{11}/g_{22} }[/math]	[math]\displaystyle{ y_{11}=D/B }[/math] [math]\displaystyle{ y_{12}=-\Delta_A/B }[/math] [math]\displaystyle{ y_{21}=-1/B }[/math] [math]\displaystyle{ y_{22}=A/B }[/math]
[math]\displaystyle{ Z }[/math]	[math]\displaystyle{ z_{11}=\Delta_h/h_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{12}=h_{12}/h_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{21}=-h_{21}/h_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{22}=1/h_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_z=h_{11}/h_{22} }[/math]	[math]\displaystyle{ z_{11}=y_{22}/\Delta_y }[/math] [math]\displaystyle{ z_{12}=-y_{12}/\Delta_y }[/math] [math]\displaystyle{ z_{21}=-y_{21}/\Delta_y }[/math] [math]\displaystyle{ z_{22}=y_{11}/\Delta_y }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_z=1/\Delta_y }[/math]		[math]\displaystyle{ z_{11}=1/g_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{12}=-g_{12}/g_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{21}=g_{21}/g_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ z_{22}=\Delta_g/g_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_z=g_{22}/g_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ z_{11}=A/C }[/math] [math]\displaystyle{ z_{12}=\Delta_A/C }[/math] [math]\displaystyle{ z_{21}=1/C }[/math] [math]\displaystyle{ z_{22}=D/C }[/math]
[math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ g_{11}=h_{22}/\Delta_h }[/math] [math]\displaystyle{ g_{12}=-h_{12}/\Delta_h }[/math] [math]\displaystyle{ g_{21}=-h_{21}/\Delta_h }[/math] [math]\displaystyle{ g_{22}=h_{11}/\Delta_h }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_g=1/\Delta_h }[/math]	[math]\displaystyle{ g_{11}=\Delta_y/y_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{12}=y_{12}/y_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{21}=-y_{21}/y_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{22}=1/y_{22} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_g=y_{11}/y_{22} }[/math]	[math]\displaystyle{ g_{11}=1/z_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{12}=-z_{12}/z_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{21}=z_{21}/z_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ g_{22}=\Delta_z/z_{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \Delta_g=z_{22}/z_{11} }[/math]		[math]\displaystyle{ g_{11}=C/A }[/math] [math]\displaystyle{ g_{12}=-\Delta_A/A }[/math] [math]\displaystyle{ g_{21}=\Delta_A/A }[/math] [math]\displaystyle{ g_{22}=B/A }[/math]
[math]\displaystyle{ A }[/math]	[math]\displaystyle{ A=-\Delta_h/h_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ B=-h_{11}/h_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ C=-h_{22}/h_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ D=-1/h_{21} }[/math]	[math]\displaystyle{ A=-y_{22}/y_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ B=-1/y_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ C=-\Delta_y/y_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ D=-y_{11}/y_{21} }[/math]	[math]\displaystyle{ A=z_{11}/z_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ B=\Delta_z/z_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ C=1/z_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ D=z_{22}/z_{21} }[/math]	[math]\displaystyle{ A=1/g_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ B=g_{22}/g_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ C=g_{11}/g_{21} }[/math] [math]\displaystyle{ D=\Delta_g/g_{21} }[/math]

Преобразования схем

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{U_1}{I_1}; \qquad R_{out}=\frac{U_2}{I_2}; \qquad K_{I}=\frac{I_2}{I_1}; \qquad K_{U}=\frac{U_2}{U_1}. }[/math]

Схема	[math]\displaystyle{ H }[/math]	[math]\displaystyle{ Y }[/math]	[math]\displaystyle{ Z }[/math]	[math]\displaystyle{ G }[/math]
	[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{h_{11}+\Delta_h R}{1+h_{22} R} }[/math] [math]\displaystyle{ R_{out}=\frac{h_{11}+r}{\Delta_h+h_{22} r} }[/math] [math]\displaystyle{ K_{I}=\frac{h_{21}}{1+h_{22} R} }[/math] [math]\displaystyle{ K_{U}=\frac{-h_{21} R}{h_{11}+\Delta_h R} }[/math]	[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{ 1+y_{22} R }{ y_{11}+\Delta_y R } }[/math] [math]\displaystyle{ R_{out}=\frac{ 1+y_{11} r }{ y_{22}+\Delta_y r } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{I}=\frac{ y_{21} }{ y_{11}+ \Delta_y R } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{U}=\frac{ -y_{21} R }{ 1+y_{22} R } }[/math]	[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{ \Delta_z + z_{11} R }{ z_{22}+R } }[/math] [math]\displaystyle{ R_{out}=\frac{ \Delta_z + z_{22} r }{ z_{22}+r } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{I}=\frac{ -z_{21} }{ z_{22}+R } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{U}=\frac{ z_{21} R }{ -\Delta_z+z_{11} R } }[/math]	[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{ g_{22}+R }{ \Delta_g+g_{11} R } }[/math] [math]\displaystyle{ R_{out}=\frac{ g_{22}+\Delta_g r }{ 1+g_{11} r } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{I}=\frac{ -g_{21} }{ \Delta_g+g_{11} R } }[/math] [math]\displaystyle{ K_{U}=\frac{ g_{21} R }{ g_{22}+R } }[/math]

Принцип вычисления параметров схемы

В качестве примера найдем входное/выходное сопротивление и коэффициенты усиления по току и напряжению для четырёхполюсника, описанного h-параметрами.

• Входное сопротивление

[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{U_1}{I_1}; }[/math]

Ненагруженный четырёхполюсник описывается системой

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_1=h_{11}I_1+h_{12}U_2 \\ I_2=h_{21}I_1+h_{22}U_2 \end{cases}. }[/math]

При подключении нагрузки

[math]\displaystyle{ U_2=-I_2 R. }[/math]

Преобразуем систему уравнений

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_1=h_{11}I_1-h_{12}I_2 R \\ I_2=h_{21}I_1-h_{22}I_2 R \end{cases}; \qquad \begin{cases} I_2 h_{12} R = h_{11}I_1 - U_1 \\ I_2 (1+h_{22} R) = h_{21}I_1 \end{cases}; }[/math]

[math]\displaystyle{ (h_{11}I_1-U_1)(1+h_{22}R) = h_{12}h_{21}I_1 R; }[/math]

[math]\displaystyle{ h_{11}I_1(1+h_{22}R) - U_1(1+h_{22}R) = h_{12}h_{21}I_1R; }[/math]

[math]\displaystyle{ U_1(1+h_{22}R) = I_1[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R ]; }[/math]

[math]\displaystyle{ U_1(1+h_{22}R) = I_1(h_{11}+ h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R); }[/math]

[math]\displaystyle{ U_1(1+h_{22}R) = I_1(h_{11}+ \Delta_hR); }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{in}=\frac{U_1}{I_1}=\frac{h_{11}+\Delta_h R}{1+h_{22} R}. }[/math]

Разновидности четырёхполюсников

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

[math]\displaystyle{ \begin{cases} U_1=h_{12}U_2 \\ I_2=h_{21}I_1 \\ \end{cases}; \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & h_{12} \\ h_{21} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} }[/math]

Гиратор

Основная статья: Гиратор

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} I_1=y_{12}U_2 \\ I_2=-y_{21}U_1 \\ \end{cases}; \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & y_{12} \\ -y_{21} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} }[/math]

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

[math]\displaystyle{ Z_{out}=\frac{1} {-Z_{in}y_{21}^2} }[/math]

Нуллор

Основная статья: Нуллор

Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также

Двухполюсник

Литература

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
• Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
• Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.