Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется бесконечно делимой, если для любого [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] она может быть представлена в виде

[math]\displaystyle{ Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i }[/math],

где [math]\displaystyle{ \left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n }[/math] — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция [math]\displaystyle{ \phi_Y(t) }[/math] бесконечно делимой случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}}(t) }[/math].

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения [math]\displaystyle{ \Phi(x) }[/math] c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции [math]\displaystyle{ \phi(t) }[/math] имел вид:

[math]\displaystyle{ \ln \phi(t) = i \gamma t + \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{itx} - 1 - itx}{x^2} dG(x) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — вещественная постоянная, а [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть [math]\displaystyle{ \phi(t) }[/math] — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации [math]\displaystyle{ G:\mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math], такая что

[math]\displaystyle{ \ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u) }[/math]

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m) }[/math], где

[math]\displaystyle{ m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} }[/math]

для некоторого [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math]. Тогда случайная величина [math]\displaystyle{ X:\mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math], имеющая вид

[math]\displaystyle{ X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N} }[/math]

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение [math]\displaystyle{ \mu }[/math] на локально компактной абелевой группе [math]\displaystyle{ X }[/math] называется бесконечно делимым, если для каждого натурального [math]\displaystyle{ n }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ x_n\in X }[/math] и распределение [math]\displaystyle{ \mu_n }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \mu=\mu_n^{*n}*E_{x_n} }[/math], где [math]\displaystyle{ E_{x_n} }[/math] - вырожденное распределение, сосредоточенное в [math]\displaystyle{ x_n }[/math] (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.