Филинг-радиус
Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.
Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий.
Кривые на плоскости
Филинг-радиус ([math]\displaystyle{ \mathrm{FillRad}(C\subset \mathbb{R}^2) }[/math]) замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус [math]\displaystyle{ R \gt 0 }[/math] круга, который содержится внутри кривой.
Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] таких, что кривая C стягивается в точку в своей [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестности.
Определение
Обозначим через A кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math], в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.
Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии [math]\displaystyle{ H_n(X;A)\simeq A }[/math], и мы полагаем
- [math]\displaystyle{ \mathrm{FillRad}(X) = \inf \left\{ \varepsilon \gt 0 \mid \iota_\varepsilon([X])=0\in H_n(U_\varepsilon X) \right\}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \iota_\varepsilon }[/math] обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.
Свойства
- В любой размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] существует константа [math]\displaystyle{ c_n }[/math], что неравенство
- [math]\displaystyle{ (\mathrm{FillRad}\, M)^n\le c_n\cdot\mathrm{vol}\, M }[/math]
- выполняется для любого замкнутого риманова [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math].
- Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.[1]
- Для данного многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] размерности хотябы 3, оптимальная константа [math]\displaystyle{ c(M) }[/math] в неравенстве
- [math]\displaystyle{ (\mathrm{FillRad}\, (M,g))^n\le c(M)\cdot\mathrm{vol}\, (M,g) }[/math]
- зависти только от размерности [math]\displaystyle{ M }[/math] и его ориентируемости.[2]
- Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.[3]
- Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой.
- В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен π/3, то есть одной шестой её длины.
- Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой.
- Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов.
- Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.
- Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,
- [math]\displaystyle{ \mathrm{FillRad} M\ge \frac{\mathrm{InjRad} M}{\dim M+1}. }[/math]
Примечания
- ↑ Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. arXiv:1909.12225
- ↑ Brunnbauer, Michael, Filling inequalities do not depend on topology. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231.
- ↑ Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511.
Литература
- Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
- Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
- Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, vol. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978