Файл:CollatzFractal.png

Описание

z\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)+(3z+1)\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e52c4ebde64874d076cbedc1d4a1518148b6402" style="vertical-align: -1.838ex; width:42.177ex; height:5.176ex;"/>,

which simplifies to [math]\displaystyle{ \lt semantics\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mn\gt 4\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mn\gt 7\lt /mn\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo\gt −\lt !-- − --\gt \lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mn\gt 5\lt /mn\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt mi\gt cos\lt /mi\gt \lt mo\gt ⁡\lt !-- ⁡ --\gt \lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mi\gt π\lt !-- π --\gt \lt /mi\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt /mstyle\gt \lt /mrow\gt \lt annotation encoding="application/x-tex"\gt {\displaystyle {\frac {1}{4}}(2+7z-(2+5z)\cos(\pi z))}\lt /annotation\gt \lt /semantics\gt }[/math]<img alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}(2+7z-(2+5z)\cos(\pi z))}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f55a387c9d12c82ae998e689e40632961b7db47" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.692ex; height:5.176ex;"/>.

If the standard Collatz map defined above is optimized by replacing the relation 3n + 1 with the common substitute "shortcut" relation (3n + 1)/2, it can be viewed as the restriction to the integers of the smooth real and complex map

[math]\displaystyle{ \lt semantics\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"\gt \lt mi\gt f\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt mo\gt =\lt /mo\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt msup\gt \lt mi\gt cos\lt /mi\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mrow\gt \lt /msup\gt \lt mo\gt ⁡\lt !-- ⁡ --\gt \lt /mo\gt \lt mrow\gt \lt mo\gt (\lt /mo\gt \lt mrow\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mi\gt π\lt !-- π --\gt \lt /mi\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt /mrow\gt \lt mo\gt )\lt /mo\gt \lt /mrow\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mn\gt 3\lt /mn\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt msup\gt \lt mi\gt sin\lt /mi\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mrow\gt \lt /msup\gt \lt mo\gt ⁡\lt !-- ⁡ --\gt \lt /mo\gt \lt mrow\gt \lt mo\gt (\lt /mo\gt \lt mrow\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mi\gt π\lt !-- π --\gt \lt /mi\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt /mrow\gt \lt mo\gt )\lt /mo\gt \lt /mrow\gt \lt /mstyle\gt \lt /mrow\gt \lt annotation encoding="application/x-tex"\gt {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}z\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)+{\frac {1}{2}}(3z+1)\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)}\lt /annotation\gt \lt /semantics\gt }[/math]<img alt="{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}z\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)+{\frac {1}{2}}(3z+1)\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449a534b2870da01337c41be5f3643750b0a9d0" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.176ex; height:5.176ex;"/>,

which simplifies to [math]\displaystyle{ \lt semantics\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"\gt \lt mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"\gt \lt mfrac\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mn\gt 4\lt /mn\gt \lt /mfrac\gt \lt /mrow\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mn\gt 4\lt /mn\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo\gt −\lt !-- − --\gt \lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mn\gt 1\lt /mn\gt \lt mo\gt +\lt /mo\gt \lt mn\gt 2\lt /mn\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt mi\gt cos\lt /mi\gt \lt mo\gt ⁡\lt !-- ⁡ --\gt \lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt (\lt /mo\gt \lt mi\gt π\lt !-- π --\gt \lt /mi\gt \lt mi\gt z\lt /mi\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt mo stretchy="false"\gt )\lt /mo\gt \lt /mstyle\gt \lt /mrow\gt \lt annotation encoding="application/x-tex"\gt {\displaystyle {\frac {1}{4}}(1+4z-(1+2z)\cos(\pi z))}\lt /annotation\gt \lt /semantics\gt }[/math]<img alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}(1+4z-(1+2z)\cos(\pi z))}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd9526407b6dcd889fb36ad4efd845b9e306f44" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.692ex; height:5.176ex;"/>.

Iterating the above optimized map in the complex plane produces the Collatz fractal. | источник = English wikipedia | время создания = 2005-10-21 | автор = Pokipsy76 — Лицензия: Public domain (в общественном достоянии) }} Источник файла — сайт Wikimedia Commons, куда он был загружен под одной из свободных лицензий ( https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png ). Авторов, работавших над этим файлом см. в истории файла: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:CollatzFractal.png&action=history

В общем случае в статьях энциклопедии Руниверсалис файлы используются в соответствии со статьёй 1274 Гражданского кодекса Российской Федерации.