Теорема о повороте плоской кривой

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.

Формулировка

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен [math]\displaystyle{ \pm2{\cdot}\pi }[/math]. Причём он равен [math]\displaystyle{ +2{\cdot}\pi }[/math], если ограниченная область лежит слева от кривой и [math]\displaystyle{ -2{\cdot}\pi }[/math] в противоположном случае.

Вариации и обобщения

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

Замечания

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен [math]\displaystyle{ 2{\cdot}\pi }[/math]. По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от [math]\displaystyle{ \pm2{\cdot}\pi }[/math] должна иметь самопересечения.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.