Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности или Теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результат функционального анализа. Теорема утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве.

История

Теорема была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — Банахово пространство, [math]\displaystyle{ Y }[/math] — нормированное векторное пространство, [math]\displaystyle{ F }[/math] — семейство линейных непрерывных операторов из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Предположим, что для любого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] выполняется

[math]\displaystyle{ \sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y \lt \infty. }[/math]

Тогда

[math]\displaystyle{ \sup\nolimits_{T \in F,\|x\|=1} \|T(x)\|_Y=\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{\mathcal{L}(X,Y)} \lt \infty. }[/math]

Следствия

Если последовательность ограниченных операторов на банаховом пространстве сходится поточечно, то её поточечный предел является ограниченным оператором.

Вариации и обобщения

• Бочечное пространство — наиболее общий тип пространств в которых выполняется принцип равномерной ограниченности.

• Принцип ограниченности выполняется для семейств отображений из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y, }[/math] если [math]\displaystyle{ X }[/math] является пространством Бэра и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — локально выпуклое пространство.

Список литературы

• Banach, Stefan & Steinhaus, Hugo (1927), Sur le principe de la condensation de singularités, Fundamenta Mathematicae Т. 9: 50–61, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918.pdf>  (фр.)
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6 
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press .
• Rudin, Walter (1966), Real and complex analysis, McGraw-Hill .
• Shtern, A.I. (2001), Banach–Steinhaus theorem, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Sokal, Alan (2011), A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly Т. 118: 450—452, DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.