Перейти к содержанию

Радикальная ось двух окружностей

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Радикальная ось»)
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

Радикальная ось двух непересекающихся окружностей

Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Радикальная ось двух окружностей. Три возможных случая: 1) Окружности не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой. 2) Окружности пересекаются. 3) Окружности не пересекаются и одна из них лежит внутри другой.

Свойства радикальной оси

  • Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 + Ax + By + C, }[/math] где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 \Leftrightarrow (A_1-A_2)x + (B_1-B_2)y + (C_1-C_2) = 0, }[/math] а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
  • Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
  • Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.
Расширяющиеся окружности точек степени d относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые).
  • Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).
Построение радикальной оси двух окружностей
  • Если прямые, содержащие хорды [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ CD }[/math] первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] вписанный. Это несложно доказать: пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна [math]\displaystyle{ PA \cdot PB, }[/math] а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и [math]\displaystyle{ PC \cdot PD. }[/math] Так как [math]\displaystyle{ PA \cdot PB = PC \cdot PD, }[/math] то точки [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что [math]\displaystyle{ AB }[/math] — общая хорда первой и третьей, а [math]\displaystyle{ CD }[/math] — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.
Радикальный центр трёх окружностей
  • Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть [math]\displaystyle{ \Omega_1, \Omega_2, \Omega_3 }[/math] — окружности, а [math]\displaystyle{ P }[/math] — точка пересечения радикальной оси окружностей [math]\displaystyle{ \Omega_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \Omega_2 }[/math] с радикальной осью окружностей [math]\displaystyle{ \Omega_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \Omega_3 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \mathfrak P(\omega,A) }[/math] — степень точки [math]\displaystyle{ A }[/math] относительно окружности [math]\displaystyle{ \omega, }[/math] то по определению радикальной оси [math]\displaystyle{ \mathfrak P(\Omega_1,P) = \mathfrak P(\Omega_2,P) = \mathfrak P(\Omega_3,P), }[/math] и точка [math]\displaystyle{ P }[/math] лежит на радикальной оси окружностей [math]\displaystyle{ \Omega_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \Omega_3. }[/math]
  • Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть). См. рис.
Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, находится на радикальной оси
  • Антигомологические хорды[уточнить] двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей, см. рис. ниже).
  • Пусть [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — четырёхугольник, прямые [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ CD }[/math] пересекаются в точке [math]\displaystyle{ F }[/math], [math]\displaystyle{ BC }[/math] и [math]\displaystyle{ AD }[/math] — в [math]\displaystyle{ E }[/math]. Тогда окружности, построенные на отрезках [math]\displaystyle{ AC }[/math], [math]\displaystyle{ BD }[/math] и [math]\displaystyle{ EF }[/math], как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников [math]\displaystyle{ ABE }[/math], [math]\displaystyle{ CDE }[/math], [math]\displaystyle{ BCF }[/math] и [math]\displaystyle{ ADF }[/math] (прямая Обера — Штейнера).
Антигомотетические точки двух окружностей имеют хорды, которые пересекаются на радикальной оси

Ортогональность

  • Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
  • Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
  • Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы СAD и СBD.
Построение радикальной оси двух непересекающхся окружностей. Пояснения на рисунке. Радикальная ось показана красной

Следствия из свойств радикальной оси

  • На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
  • Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
  • Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).

Ссылки

См. также