Присоединённая матрица

Присоединённая (союзная, взаимная) матрица — матрица [math]\displaystyle{ {C}^{*} }[/math], составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, так как понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

[math]\displaystyle{ {C}^{*}= \begin{pmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix} }[/math]

Исходная матрица:

[math]\displaystyle{ {A}= \begin{pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots & {a}_{nn} \\ \end{pmatrix} }[/math]

Где:

• [math]\displaystyle{ {C}^{*} }[/math] — присоединённая (союзная, взаимная) матрица;
• [math]\displaystyle{ {A}_{ij} }[/math] — алгебраические дополнения исходной матрицы;
• [math]\displaystyle{ {a}_{ij} }[/math] — элементы исходной матрицы.

Эта матрица нужна для вычисления обратной матрицы:

[math]\displaystyle{ {A}^{-1}= {{{C}^{*}}\over{\det(A)}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math] — определитель матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Обозначение

• [math]\displaystyle{ {C}^{*} }[/math]
• [math]\displaystyle{ {C}^{c} }[/math]
• [math]\displaystyle{ {C}^{v} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{adj}A }[/math]

См. также

• Обратная матрица
• Алгебраическое дополнение
• Линейная алгебра

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.