Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса [math]\displaystyle{ m }[/math], коэффициент упругости [math]\displaystyle{ k }[/math] и коэффициент затухания [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Если эти коэффициенты зависят от времени, и [math]\displaystyle{ m=m(t), k=k(t), \beta=\beta(t) }[/math], то уравнение движения имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d t}(m\dot x) + \beta \dot x +kx = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (1) }[/math]

Сделаем замену переменной времени [math]\displaystyle{ t }[/math] →[math]\displaystyle{ \tau }[/math], где [math]\displaystyle{ d\tau=dt/m(t) }[/math], что приводит уравнение (1) к виду

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{d \tau^2} + \beta\frac{d x }{d \tau} + kmx = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (2) }[/math]

Сделаем еще одну замену [math]\displaystyle{ x(\tau) }[/math] → [math]\displaystyle{ q(\tau) }[/math]:

[math]\displaystyle{ q(\tau)=\exp^{B(\tau)}x(\tau), B(\tau)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tau}\beta(\xi )d\xi, }[/math]

[math]\displaystyle{ (3) }[/math]

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 q}{d \tau^2}+\delta^2(\tau)q=0 , \delta^2(\tau)=km-\frac{\dot\beta}{2}-\frac{\beta^2}{4}, }[/math]

[math]\displaystyle{ (4) }[/math]

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{d t^2}+\omega ^2(t)x=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (5) }[/math]

которое получилось бы из уравнения (1) при [math]\displaystyle{ m=const }[/math].

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты [math]\displaystyle{ \omega ^2(t)=\omega ^2_{0} }[/math], аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости [math]\displaystyle{ \omega (t) }[/math] уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости [math]\displaystyle{ \omega (t) }[/math] — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда [math]\displaystyle{ \omega^2 (t)=\omega ^2_{0}[1+h\cos (\omega _{0}+\varepsilon )t] }[/math], то есть уравнение (5) имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos (\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (6) }[/math]

Где [math]\displaystyle{ \omega_{0} }[/math] — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты [math]\displaystyle{ h \ll 1 }[/math], постоянная [math]\displaystyle{ \varepsilon \ll \omega_{0} }[/math] — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что [math]\displaystyle{ h\gt 0 }[/math]. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

[math]\displaystyle{ -\frac{5}{24}\lt \frac{\varepsilon }{h^2\omega_{0}}\lt \frac{1}{24}, }[/math]

[math]\displaystyle{ (7) }[/math]

2. Рассмотрим случай, когда [math]\displaystyle{ \omega^2(t)=\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t] }[/math] , то есть уравнение (5) имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{dt^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (8) }[/math]

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой [math]\displaystyle{ y=2\omega_{0}+\varepsilon }[/math]. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов [math]\displaystyle{ h^2 }[/math], происходит в случае, когда

[math]\displaystyle{ -\frac{1}{32}h-\frac{1}{2}\lt \frac{\varepsilon}{h\omega_{0}}\lt -\frac{1}{32}h+\frac{1}{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ (9) }[/math]

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

[math]\displaystyle{ \ddot\phi +\omega^2_{0}[1+\frac{4a}{l}\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]\phi=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (10) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega^2_{0}=\frac{g}{l} }[/math], и [math]\displaystyle{ h=\frac{4a}{l} }[/math]. В случае, когда [math]\displaystyle{ a \ll l }[/math] и ограничиваясь первым порядком разложения по [math]\displaystyle{ h }[/math], получим, что

[math]\displaystyle{ -\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}\lt \varepsilon\lt \frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ (11) }[/math]

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний [math]\displaystyle{ \omega=\omega_{0} }[/math] и её удвоенного значения [math]\displaystyle{ \omega=2\omega_{0} }[/math], — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (12) }[/math]

Параметрический резонанс имеет место, когда

[math]\displaystyle{ \omega=\frac{2\omega_{0}}{n}, n=1,2,..., }[/math]

[math]\displaystyle{ (13) }[/math]

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника [math]\displaystyle{ \omega_{0} }[/math], а ширина резонанса равна [math]\displaystyle{ h\omega_{0} }[/math]. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x }{d t^2}+3\gamma \frac{d x}{d t}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (14) }[/math]

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых [math]\displaystyle{ h \ll 1 }[/math], а лишь при тех [math]\displaystyle{ h\gt \frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma^2} }[/math]. Т.о., при наличии трения

[math]\displaystyle{ \frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma}\lt h \ll 1, }[/math],

[math]\displaystyle{ (15) }[/math]

что позволяет надлежащим выбором параметров [math]\displaystyle{ \gamma }[/math],[math]\displaystyle{ \omega_{0} }[/math], и [math]\displaystyle{ h }[/math], в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.