Ортогональная система координат

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

[math]\displaystyle{ ds^{2} = \sum_{k=1}^{n} \left( h_{k} dq^{k} \right)^{2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ n }[/math] - размерность пространства. Скалярный фактор

[math]\displaystyle{ h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k| }[/math]

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_{k} }[/math].

В ортогональных системах координат [math]\displaystyle{ \mathbf{q} = (q^{1}, q^{1}, \ldots, q^{n}) }[/math] координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси [math]\displaystyle{ Ox }[/math], [math]\displaystyle{ Oy }[/math] и [math]\displaystyle{ Oz }[/math].

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

[math]\displaystyle{ \mathbf{e}_{i}\cdot \mathbf{e}_{j}= \left\{ \begin{matrix} 0, & i\ne j{;} \\ \vert\mathbf{e}_{i}\vert^2, & i = j{.} \end{matrix} \right . }[/math]

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_{i}^{\left( n \right)}=\frac{\mathbf{e}_{i}}{\left| \mathbf{e}_{i} \right|} }[/math].

Для нормированных базисных векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_{i}\cdot \mathbf{e}_{j}=\delta _{i j} }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta _{i j} }[/math] — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

[math]\displaystyle{ \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} = \sum_{k=1}^{n} h_{k}^2 x^{k} y^{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{x_{k} y_{k}}{h_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{n} x^{k} y_{k} = \sum_{k=1}^{n} x_{k} y^{k} }[/math].