Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: т. н. «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x) }[/math]

которое можно переписать в виде

[math]\displaystyle{ \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x) }[/math]

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

[math]\displaystyle{ \Psi(x) = e^{\Phi(x)} }[/math]

Φ должна удовлетворять уравнению

[math]\displaystyle{ \Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Phi' }[/math] означает производную от [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] по x. Разделим [math]\displaystyle{ \Phi'(x) }[/math] на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:

[math]\displaystyle{ \Phi'(x) = A(x) + i B(x) }[/math]

Тогда амплитуда волновой функции [math]\displaystyle{ e^{\int^x A(x')dx'} }[/math], а фаза — [math]\displaystyle{ {\int^x B(x')dx'} }[/math]. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

[math]\displaystyle{ A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \; }[/math]

[math]\displaystyle{ B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \; }[/math]

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням [math]\displaystyle{ \hbar }[/math]. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого [math]\displaystyle{ \hbar ^ {-1} }[/math], чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

[math]\displaystyle{ A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x) }[/math]

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

[math]\displaystyle{ A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ A_0(x) B_0(x) = 0 }[/math]

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить [math]\displaystyle{ A_0(x) = 0 }[/math] и получить

[math]\displaystyle{ B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) } }[/math]

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

[math]\displaystyle{ \Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}} }[/math]

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим [math]\displaystyle{ B_0(x) = 0 }[/math] и получим

[math]\displaystyle{ A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) } }[/math]

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

[math]\displaystyle{ \Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} }[/math]

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где [math]\displaystyle{ E = V (x) }[/math] и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.

Обозначим классическую точку поворота [math]\displaystyle{ x_1 }[/math]. Вблизи [math]\displaystyle{ E=V(x_1) }[/math], можно разложить [math]\displaystyle{ \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) }[/math] в ряд.

[math]\displaystyle{ \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots }[/math]

Для первого порядка получим

[math]\displaystyle{ \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x) }[/math]

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right) }[/math]

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между [math]\displaystyle{ C,\theta }[/math] и [math]\displaystyle{ C_{+},C_{-} }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)} }[/math]

Что завершает построение глобального решения.

Литература

• Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. Архивная копия от 16 июня 2011 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. Архивная копия от 15 марта 2012 на Wayback Machine // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967. — 166 с.
• Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.