Векторная решётка

Ве́кторная решётка ([math]\displaystyle{ K }[/math]-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] с произвольным выделенным подклассом элементов [math]\displaystyle{ X_+ \subset X }[/math], называемых положительными элементами ([math]\displaystyle{ 0 \notin X_+ }[/math]), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: [math]\displaystyle{ x \gt y \Leftrightarrow x-y \in X_+ }[/math] (в этом случае [math]\displaystyle{ x \in X_+ \Rightarrow x \gt 0 }[/math]), если при этом выполнены следующие условия:

• если [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math],
• если [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x+y\gt 0 }[/math]
• для любых двух элементов [math]\displaystyle{ x, y \in X }[/math] существует их супремум [math]\displaystyle{ x \vee y }[/math],
• если [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] и для элемента числового поля [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ \lambda x \gt 0 }[/math].

Всякая векторная решётка дистрибутивна.

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] в виде разности двух положительных элементов [math]\displaystyle{ x = x_+ - x_- }[/math], где [math]\displaystyle{ x_+ = x \vee 0 }[/math] называется положительной частью элемента [math]\displaystyle{ x }[/math], а [math]\displaystyle{ x_- = (-x) \vee 0 }[/math] — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: [math]\displaystyle{ |x| = x_+ + x_- }[/math], причём всегда выполнено [math]\displaystyle{ x \leqslant x_+ \leqslant |x| }[/math]. Для ограниченности множества [math]\displaystyle{ U \in X }[/math] в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов [math]\displaystyle{ U^* = \{|x|, \, x\in U \} }[/math].

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки.

Литература

• А. В. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. Банаховы решетки – некоторые банаховы аспекты теории // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, № 2 (206). — С. 137–183.
• Вулих Б. З. Глава III. Линейные структуры // Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 408 с. — 9000 экз.