*-алгебра

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

антиавтоморфизмом, то есть

[math]\displaystyle{ \ (x + y)^* = x^* + y^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \ (x y)^* = y^* x^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \ 1^* = 1 }[/math]

и инволюцией, то есть

[math]\displaystyle{ \ (x^*)^* = x. }[/math]

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в [math]\displaystyle{ R \subset A. }[/math]

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

[math]\displaystyle{ (\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A }[/math].

*-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \ f: A \to B }[/math] — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

[math]\displaystyle{ f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A. }[/math]

Элементы для которых [math]\displaystyle{ \ x^*= x }[/math] называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
Элементы для которых [math]\displaystyle{ \ x^*=-x }[/math] называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде [math]\displaystyle{ \phi(x,y) = x^* \cdot y }[/math].

C*-алгебра

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

[math]\displaystyle{ \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|, }[/math]

[math]\displaystyle{ \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|. }[/math]

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

[math]\displaystyle{ \|x x^* \| = \|x\|^2. }[/math]

Примеры

Самым известным примером являются комплексные числа [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] с операцией сопряжения.
Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.

Свойства

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

Если элемент 2 в кольце обратим, тогда [math]\displaystyle{ \frac12(1-*) }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac12(1+*) }[/math] является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.

Обозначения

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

x ↦ x*

или

x ↦ x^∗ (ΤΕΧ: x^*),

но не «x∗» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x^† (поднятый типографский крестик).

См. также

Операторные алгебры
Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру

Библиография

H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.