Электростатический потенциал

Электростатический потенциа́л — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

[math]\displaystyle{ \varphi = \frac{W_p}{q_p}. }[/math]

Напряжённость электростатического поля [math]\displaystyle{ \mathbf E }[/math] и потенциал [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] связаны соотношением

[math]\displaystyle{ \int\limits_A^B \mathbf E\cdot\mathbf{dl} = \varphi(A) - \varphi(B), }[/math]

или обратно:

[math]\displaystyle{ \mathbf E = - \nabla \varphi. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля [math]\displaystyle{ \mathbf\nabla\cdot \mathbf E = {\rho \over \varepsilon_0} }[/math], легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в вакууме. В единицах системы СИ:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \varphi = - {\rho \over \varepsilon_0}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — электростатический потенциал (в вольтах), [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — электрическая постоянная (в фарадах на метр).

Неоднозначность определения потенциала

Поскольку потенциал (как и потенциальная энергия) может быть определён с точностью до произвольной постоянной (и все величины, которые можно измерить, а именно напряженности поля, силы, работы — не изменятся, если мы выберем эту постоянную так или по-другому), непосредственный физический смысл (по крайней мере, пока речь не идет о квантовых эффектах) имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, которая определяется как:

[math]\displaystyle{ \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A_{f}^{q^{*}1 \to 2}}{q^{*}}, }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ \varphi_1 }[/math] — потенциал в точке 1,

[math]\displaystyle{ \varphi_2 }[/math] — потенциал в точке 2,

[math]\displaystyle{ A_{f}^{q^{*} 1 \to 2} }[/math] — работа, совершаемая полем при переносе пробного заряда [math]\displaystyle{ q^{*} }[/math] из точки 1 в точку 2.

При этом считается, что все остальные заряды при такой операции «заморожены» — то есть неподвижны во время этого перемещения (имеется в виду вообще говоря скорее воображаемое, а не реальное перемещение, хотя в случае, если остальные заряды действительно закреплены — или пробный заряд исчезающе мал по величине — чтобы не вносить заметного возмущения в положения других — и переносится достаточно быстро, чтобы остальные заряды не успели заметно переместиться за это время, формула оказывается верной и для вполне реальной работы при реальном перемещении).

Впрочем, иногда для снятия неоднозначности используют какие-нибудь «естественные» условия. Например, часто потенциал определяют таким образом, чтобы он был равен нулю на бесконечности для любого точечного заряда — и тогда для любой конечной системы зарядов выполнится на бесконечности это же условие, а над произвольностью выбора константы можно не задумываться (конечно, можно было бы выбрать вместо нуля любое другое число, но ноль — «проще»).

Единицы измерения

В СИ за единицу разности потенциалов принимают вольт (В).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному вольту, если для перемещения между ними заряда в один кулон нужно совершить работу в один джоуль: 1 В = 1 Дж/Кл (L²MT⁻³I⁻¹).

В СГС единица измерения потенциала не получила специального названия. Разность потенциалов между двумя точками равна одной единице потенциала СГСЭ, если для перемещения между ними заряда величиной одна единица заряда СГСЭ нужно совершить работу в один эрг.

Приближенное соответствие между величинами: 1 В = 1/300 ед. потенциала СГСЭ.

Использование термина

Широко используемые термины напряжение и электрический потенциал имеют несколько иной смысл, хотя нередко используются неточно как синонимы электростатического потенциала. В отсутствие меняющихся магнитных полей напряжение равно разности потенциалов.

Кулоновский потенциал

Иногда термин кулоновский потенциал используется просто для обозначения электростатического потенциала как полный синоним. Однако можно сказать, что в целом эти термины несколько различаются по оттенку и преимущественной области применения.

Также под кулоновским могут понимать потенциал любой природы (то есть не обязательно электрический), который при точечном или сферически симметричном источнике имеет зависимость от расстояния [math]\displaystyle{ \frac1r }[/math] (например, гравитационный потенциал в теории тяготения Ньютона, хотя последний чаще всё же называют ньютоновским, так как он был изучен в целом раньше), особенно если надо как-то обозначить весь этот класс потенциалов в отличие от потенциалов с другими зависимостями от расстояния.

Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда в вакууме:

[math]\displaystyle{ \varphi = k \frac{q}{r}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ k }[/math] обозначен коэффициент, зависящий от системы единиц измерения — например, в СИ:

[math]\displaystyle{ k = \frac1{4\pi\varepsilon_0} }[/math] = 9·10⁹ В·м/Кл,

[math]\displaystyle{ q }[/math] — величина заряда, [math]\displaystyle{ r }[/math] — расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал.

• Можно показать, что эта формула верна не только для точечных зарядов, но и для любого сферически симметричного заряда конечного размера, например, равномерно заряженного шара, правда, только в свободном от заряда пространстве — то есть, например, над поверхностью шара, а не внутри его.
• Кулоновский потенциал в приведенном выше виде используется в формуле кулоновской потенциальной энергии (потенциальной энергии взаимодействия системы электростатически взаимодействующих зарядов):

  [math]\displaystyle{ W = \sum_{i\lt j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2}\sum_{i\neq j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}. }[/math]

В электродинамике

Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что справедливо, при изменяющихся во времени электрических полей и наоборот), то невозможно описать электрическое поле в терминах скалярного потенциала V, поскольку электрическое поле больше не является консервативным: циркуляция [math]\displaystyle{ \textstyle\int_C \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} }[/math] зависит от пути, потому что [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} \neq \mathbf{0} }[/math] (см. Закон индукции Фарадея).

Вместо этого всё ещё можно определить скалярный потенциал, дополнив его магнитным векторным потенциалом A. В частности, А определен так чтобы

[math]\displaystyle{ \mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}, \, }[/math]

где B — магнитное поле. Поскольку дивергенция магнитного поля всегда равно нулю из-за отсутствия магнитных монополей, то A всегда существует. Учитывая это, величина

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = \mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} }[/math]

является консервативным полем по закону Фарадея, и поэтому можно написать

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}V - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \, }[/math]

где V — скалярный потенциал, определённый консервативным полем F.

Электростатический потенциал — это частный случай этого определения, где A не зависит от времени. С другой стороны, для изменяющихся во времени полей,

[math]\displaystyle{ -\int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \neq V_{(b)} - V_{(a)}, \, }[/math]

в отличие от электростатики.

См. также

• Гальвани-потенциал
• Вольта-потенциал
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• 4-потенциал
• Стандартный электродный потенциал
• Степень окисления
• Гравитационный потенциал
• Ядерный потенциал

Литература

• Алешкевич В. А. Электромагнетизм. — М.: Физматлит, 2014. — 404 с. — 700 экз. — ISBN 978-5-9221-1555-1.