Эластичность замещения
Эластичность замещения — применяемый в экономической теории показатель, характеризующий производственную функцию или функцию полезности, и показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства (или соответственно, объемов различных благ) при изменении их предельной нормы замещения на 1 % (отношение предельных продуктов или предельных полезностей соответственно), чтобы объём выпуска оставался неизменным.
Формальное определение
Пусть задана функция [math]\displaystyle{ Y(x_1,x_2,...,x_n) }[/math]. Это обычно либо производственная функция от факторов [math]\displaystyle{ x_i }[/math], либо функция полезности от объемов потребления благ [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Далее изложение приводится для случая производственной функции.
Обозначим [math]\displaystyle{ MRTS_{ij} }[/math] — предельную норму замещения [math]\displaystyle{ j }[/math]-го фактора [math]\displaystyle{ i }[/math]-м фактором, а [math]\displaystyle{ k_{ij} }[/math] — отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:
[math]\displaystyle{ \sigma_{ij}=\frac {d \ln k_{ij}}{d \ln MRTS_{ij}}|_{Y=const}=\frac {d k_{ij}/k_{ij}}{d MRTS_{ij}/MRTS_{ij}}|_{Y=const}=\frac {d k_{ij}}{d MRTS_{ij}} \frac {MRTS_{ij}}{k_{ij}}|_{Y=const} }[/math]
При этом можно показать, что [math]\displaystyle{ \sigma_{ij}=\sigma_{ji} }[/math].
Можно показать, что эластичность замещения равна:
[math]\displaystyle{ \sigma =\frac {(1+k_{ij}MRTS_{ij})Y'_j/x_i}{Y''_{jj}MRTS_{ij}+Y''_{ii}/MRTS_{ij}-2Y''_{ij}} }[/math]
В случае однородных производственных функций она существенно упрощается:
[math]\displaystyle{ \sigma=\frac {Y'_iY'_j} {(1-q) Y'_iY'_j+q Y Y''_{ij}} }[/math]
где [math]\displaystyle{ q }[/math] — степень однородности.
В частности для стандартного случая однородности первой степени (линейной однородности) формула имеет следующий простой вид:
[math]\displaystyle{ \sigma=\frac {Y'_iY'_j} {Y \cdot Y''_{ij}} }[/math]
Эластичность замещения для некоторых производственных функций
- Функция Кобба — Дугласа [math]\displaystyle{ Y=AK^{\alpha}L^{\beta} }[/math] — эластичность замещения равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (для доказательства достаточно учесть, что эта функция является однородной степени [math]\displaystyle{ q=\alpha+\beta }[/math] и воспользоваться соответствующей формулой).
- Функция CES — имеет произвольную (то есть не обязательно единичную, как в случае функции Кобба — Дугласа) постоянную эластичность замещения.
- Производственная функция Леонтьева — нулевая эластичность замещения.
- Линейная производственная функция — бесконечная эластичность замещения.