Эйлерова характеристика

Файл:Euler GDR stamp.jpg

Эйлерова характеристика, икосаэдр и портрет Леонарда Эйлера на почтовой марке марке ГДР 1983 года (Sc #2371)

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \chi(X) }[/math].

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  [math]\displaystyle{ \chi=k_0-k_1+k_2-..., }[/math]

где [math]\displaystyle{ k_i }[/math] обозначает число клеток размерности [math]\displaystyle{ i }[/math].

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти [math]\displaystyle{ b_n }[/math] как знакопеременная сумма:

  [math]\displaystyle{ \chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ... }[/math]

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
• Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия нечётной размерности равна нулю.
• Эйлерова характеристика произведения топологических пространств M и N равна произведению их эйлеровых характеристик:

[math]\displaystyle{ \chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N). }[/math]

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле [math]\displaystyle{ \chi = \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B}, }[/math] где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:

  [math]\displaystyle{ \Gamma - \mathrm{P} + \mathrm{B} = \chi(S^2) = 2. }[/math]

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Формула Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) [math]\displaystyle{ S }[/math] без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику [math]\displaystyle{ \chi(S) }[/math] с гауссовой кривизной [math]\displaystyle{ K }[/math] многообразия:

[math]\displaystyle{ \int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S), }[/math]

где [math]\displaystyle{ d\sigma }[/math] — элемент площади поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math].

• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное риманово многообразие, известная, как теорема Гаусса — Бонне — Черна или обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентируемые и неориентируемые поверхности

Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её родом g (числом ручек, то есть числом торов в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

[math]\displaystyle{ \chi = 2 - 2g.\ }[/math]

Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её неориентируемым родом k (числом проективных плоскостей в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением

[math]\displaystyle{ \chi = 2 - k.\ }[/math]

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок		1
Окружность		0
Круг		1
сфера		2
Тор (произведение двух окружностей)		0
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Вещественная проективная плоскость		1
Лист Мёбиуса		0
Бутылка Клейна		0
Две сферы (несвязные)		2 + 2 = 4
Три сферы		2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

[math]\displaystyle{ S+H=A+2, }[/math]

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Рене Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1812 году Симон Люилье распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое [math]\displaystyle{ (-2g), }[/math] где [math]\displaystyle{ g }[/math] — количество дырок («род поверхности»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка: [math]\displaystyle{ 16+16=32+2-2\cdot 1. }[/math]

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_i }[/math] — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1. }[/math]

Вариации и обобщения

• Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).
• Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна