Число Армстронга
Число Армстронга (также самовлюблённое число, совершенный цифровой инвариант; англ. pluperfect digital invariant, PPDI) — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.
Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что
- 13 + 53 + 33 = 153.
Формальное определение
Пусть [math]\displaystyle{ n = \sum_{i = 1}^k d_ib^{i - 1} }[/math] — число, записываемое [math]\displaystyle{ d_kd_{k-1}... d_1 }[/math] в системе счисления с основанием [math]\displaystyle{ b }[/math].
Если при некотором [math]\displaystyle{ m }[/math] случится так, что [math]\displaystyle{ n = \sum_{i = 1}^k {d_i}^m }[/math], то [math]\displaystyle{ n }[/math] является [math]\displaystyle{ m }[/math]-самовлюблённым числом. Если, сверх того, [math]\displaystyle{ m=k }[/math], то [math]\displaystyle{ n }[/math] можно назвать истинным числом Армстронга.
Очевидно, что при любом [math]\displaystyle{ m }[/math] может существовать лишь конечное число [math]\displaystyle{ m }[/math]-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого [math]\displaystyle{ k }[/math], [math]\displaystyle{ k \cdot 9^k \lt 10^{k-1} - 1 }[/math].
Упоминания в литературе
В «Апологии математика» Харди писал[1][2]:
- «Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,
- 153 = 13 + 53 + 33, 370 = 33 + 73 + 03,
- 371 = 33 + 73 + 13, 407 = 43 + 03 + 73.
- Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика.»
Числа Армстронга в десятичной системе
В десятичной системе существует всего 88 чисел Армстронга. В промежутке 1 <= N <= 10 находятся следующие 32 N-значные числа Армстронга[3]:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54 748, 92 727, 93 084, 548 834, 1 741 725, 4 210 818, 9 800 817, 9 926 315, 24 678 050, 24 678 051, 88 593 477, 146 511 208, 472 335 975, 534 494 836, 912 985 153, 4 679 307 774.
Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.
Числа Армстронга в других системах счисления
- В троичной системе счисления[1]: 13, 23, 123, 223, 1223, …
- В четверичной системе счисления[1][4]: 14, 24, 34, 1304, 1314, 2034, 2234, 3134, 3324, 11034, 33034, …
Похожие классы чисел
Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и тому подобные.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Weisstein, Eric W. Narcissistic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Г. Х. Харди. Апология математика / пер. с англ. Ю. А. Данилова. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 104 с.
- ↑ Последовательность A005188 в OEIS: числа Армстронга = Armstrong (or Plus Perfect, or narcissistic) numbers: n-digit numbers equal to sum of n-th powers of their digits
- ↑ Последовательность A010344 в OEIS: числа Армстронга или самовлюблённые числа по основанию 4 (записанные в десятичной системе счисления)
Литература
- Joseph S. Madachy Mathematics on Vacation. — Thomas Nelson & Sons Ltd., 1966. — С. 163—175.
- Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения / Пер. с англ./Под ред. с предисл. и примеч. И. М. Яглома. — М.: Мир книг, 1986. — С. 26.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Narcissistic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
- Narcissistic Numbers (англ.)
- Digital Invariants (англ.)
