Частная производная

В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Частная производная функции [math]\displaystyle{ f }[/math] по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \tfrac{\partial f}{\partial x} }[/math], [math]\displaystyle{ f_x }[/math] или [math]\displaystyle{ D_xf }[/math]. В случае если переменные нумерованы, например [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] используются также обозначения [math]\displaystyle{ f_i }[/math] и [math]\displaystyle{ D_if }[/math].

В явном виде частная производная функции [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\ldots, a_n) }[/math] определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}. }[/math]

Оператор \ Функция	[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	[math]\displaystyle{ f(x, y, u(x, y), v(x, y)) }[/math]
Дифференциал	1: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f = f'_x\operatorname{d}\!x }[/math]	2: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}_x\!f = f'_x\operatorname{d}\!x }[/math] 3: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f = f'_x\operatorname{d}\!x + f'_y\operatorname{d}\!y + f'_u\operatorname{d}\!u + f'_v\operatorname{d}\!v }[/math]
Частная производная (первая производная)	[math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} }[/math]	[math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} = {\partial f\over \partial x} }[/math]
Полная производная(вторая производная)	[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} f'_x }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=} f'_x + f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} + f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x}; (f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) }[/math]

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Обозначение

Следует обратить внимание, что обозначение [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} }[/math] следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной [math]\displaystyle{ \frac{d f}{d x} }[/math], которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{d_x f}{d x} }[/math], где [math]\displaystyle{ d_x f }[/math] — частный дифференциал функции [math]\displaystyle{ f }[/math] по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Часто непонимание факта цельности символа [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} }[/math] является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение [math]\displaystyle{ \partial x }[/math] в выражении [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} }[/math] .

Геометрическая интерпретация

Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ \vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0) }[/math] по координате [math]\displaystyle{ x_k }[/math] равна производной [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \vec{e}} }[/math] по направлению [math]\displaystyle{ \vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) }[/math], где единица стоит на [math]\displaystyle{ k }[/math]-м месте.

Примеры

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

[math]\displaystyle{ V = \frac{\pi r^2 h}{3}, }[/math]

Частная производная объёма V относительно радиуса r

[math]\displaystyle{ \frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}, }[/math]

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма [math]\displaystyle{ m^3 }[/math], а измерения длины [math]\displaystyle{ m }[/math], то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма [math]\displaystyle{ m^3/m }[/math], т.е. изменение величины радиуса на 1 [math]\displaystyle{ m }[/math] будет соответствовать изменению объёма конуса на [math]\displaystyle{ \frac{ 2 \pi r h}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ m^3 }[/math].

Частная производная относительно h

[math]\displaystyle{ \frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}, }[/math]

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h} }[/math]

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

[math]\displaystyle{ k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}. }[/math]

Это даёт полную производную относительно r:

[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3} }[/math]

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также

• Смешанная частная производная