Цепная линия

Висящая цепь образует цепную линию

Цепная линия при различных значениях параметра [math]\displaystyle{ a }[/math]

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение линии в декартовых координатах:

[math]\displaystyle{ y = \frac{a}{2} (e^{x/a} + e^{-x/a}) = a \operatorname{ch}\frac{x}{a} }[/math]

(о функции [math]\displaystyle{ \operatorname{ch} }[/math] см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра [math]\displaystyle{ a }[/math] эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси [math]\displaystyle{ x }[/math]. Переменная [math]\displaystyle{ x }[/math] графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Свойства

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения [math]\displaystyle{ T_H. }[/math] Параметр [math]\displaystyle{ a = \frac{T_H}{\lambda H}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — погонная плотность нити

Цепная линия - траектория фокуса параболы, катящейся по прямой.

• Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки [math]\displaystyle{ (x,~y) }[/math]:

  [math]\displaystyle{ s = a \operatorname{sh} \frac{x}{a} = \sqrt{y^2-a^2}. }[/math]

• Радиус кривизны:

  [math]\displaystyle{ R = a \operatorname{ch}^2 \frac{x}{a} = \frac{y^2}{a}. }[/math]

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  [math]\displaystyle{ S = a^2 \left(\operatorname{sh} \frac{x_2}{a} - \operatorname{sh} \frac{x_1}{a}\right) = a \left(\sqrt{y_2^2 - a^2} - \sqrt{y_1^2 - a^2}\right). }[/math]

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия.
• Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.

Применения

Арки

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёса

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах, ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги.

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.

Дополнительные факты

На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах:

[math]\displaystyle{ y = -127{,}7' \cdot \operatorname{ch}(x / 127{,}7') + 757{,}7'. }[/math]

Выраженное в метрах, это уравнение будет [math]\displaystyle{ y = -38{,}92 \cdot \operatorname{ch}(x / 38{,}92) + 230{,}95. }[/math]

См. также

• Фонтан из цепочки

Литература

• Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.—Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.