Центр масс

Запрос «Центровка» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Центр масс (тж. центр ине́рции) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

[math]\displaystyle{ \vec r_c = \left(\int \rho(\vec r) dV\right)^{-1} \int \rho(\vec r) \vec r dV, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho(\vec r) }[/math] — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы.

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec r_c }[/math] — радиус-вектор центра масс, [math]\displaystyle{ \vec r_i }[/math] — радиус-вектор i-й точки системы, [math]\displaystyle{ m_i }[/math] — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

[math]\displaystyle{ \vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV, }[/math]

[math]\displaystyle{ M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV, }[/math]

где [math]\displaystyle{ M }[/math] — суммарная масса системы, [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём, [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами [math]\displaystyle{ M_i }[/math], то радиус-вектор центра масс такой системы [math]\displaystyle{ R_c }[/math] связан с радиус-векторами центров масс тел [math]\displaystyle{ R_{ci} }[/math] соотношением:

[math]\displaystyle{ \vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}. }[/math]

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами [math]\displaystyle{ M_1, M_2, ... M_N. }[/math] Радиус-вектор [math]\displaystyle{ \vec R_{c_n} }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-ной системы:

[math]\displaystyle{ \vec R_{c_n}= \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}} {\sum \limits_{i_n} m_{i_n}} = \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n},\ n = 1, 2, ... N. }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec R_{c} = \frac { \sum \limits_{n} \left( \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n} \cdot M_n \right)} {\sum \limits_n M_n}= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}. }[/math]

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры

Центры масс плоских однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников :
  • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
• У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении [math]\displaystyle{ \frac{4}{3\pi} }[/math] от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

[math]\displaystyle{ x_s = \frac{V_y}{2\pi S} }[/math] и [math]\displaystyle{ y_s = \frac{V_x}{2\pi S} }[/math], где [math]\displaystyle{ V_x, V_y }[/math] — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, [math]\displaystyle{ S }[/math] — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

• Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

Использование

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

[math]\displaystyle{ \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec r_c }[/math] — радиус-вектор центра масс, [math]\displaystyle{ \vec r_i }[/math] — радиус-вектор i-й частицы системы, [math]\displaystyle{ E_i }[/math] — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

[math]\displaystyle{ \vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i. }[/math]

Смежные понятия

Центр масс vs. барицентр

Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины [math]\displaystyle{ l }[/math], соединяющем тела массами [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math], на удалении [math]\displaystyle{ s = m_2l/(m_1+m_2) }[/math] от тела [math]\displaystyle{ m_1 }[/math].

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было [math]\displaystyle{ \rho= }[/math] const).

Центр масс vs. центр тяжести

Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

• Классическая механика
• Теоретическая механика
• Теорема о движении центра масс системы
• Неваляшка
• Барицентр
• Центроид треугольника

Литература

• Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..