Хорда (геометрия)

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зелёным цветом), 4 — дуга

Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорд окружности

Если хорда [math]\displaystyle{ AD }[/math] равна хорде [math]\displaystyle{ BC }[/math], то дуга [math]\displaystyle{ AD }[/math] равна дуге [math]\displaystyle{ BC }[/math]. Если хорда [math]\displaystyle{ AD }[/math] параллельна хорде [math]\displaystyle{ BC }[/math], то дуга [math]\displaystyle{ AB }[/math] равна дуге [math]\displaystyle{ CD }[/math]

Хорда и расстояние до центра окружности

Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
Наибольшая возможная хорда является диаметром.
Наименьшая возможная хорда является точкой.
Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Хорда и диаметр

Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.

Хорда и радиус

Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и вписанный угол

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Хорда и центральный угол

Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга

Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая хорда стягивает бóльшую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
Из дуг, бóльших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, бóльшая дуга стягивается меньшей хордой.
Из дуг, бóльших полуокружности, бóльшая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает бóльшую дугу.
Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства

Рис. 1. [math]\displaystyle{ AE \cdot EB = CE \cdot ED }[/math]

При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): [math]\displaystyle{ AE \cdot EB = CE \cdot ED }[/math].
Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

Свойства хорд эллипса

Основные формулы

Рис. 2

Рис. 3

Длина хорды равна [math]\displaystyle{ l = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус окружности, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3): [math]\displaystyle{ \left( \frac{l}{2} \right)^2 + d^2 = r^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ l }[/math] — длина хорды, [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус окружности, [math]\displaystyle{ d }[/math] — расстояние от центра окружности до хорды.
Если известны все четыре длины отрезков двух пересекающихся хорд, например, [math]\displaystyle{ \overline a=AE\,; \, \overline A=EB\,;\,\overline b=CE\,;\,\overline B=ED }[/math] (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{\overline A\cdot \overline a+\frac{(\overline A-\overline a)^2+(\overline B-\overline b)^2-2\,(\overline A-\overline a)(\overline B-\overline b)\cos{t}}{4\,\sin^2{t}}} }[/math]

при ограничениях: [math]\displaystyle{ \overline A\cdot \overline a=\overline B\cdot \overline b \,; \quad \overline A \ge \overline a \,;\quad \overline B \ge \overline b }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ t\, }[/math] — угол между отрезками [math]\displaystyle{ \overline A }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline B\,\, }[/math] (или между отрезками [math]\displaystyle{ \overline a }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline b }[/math]) .

В случае, когда хорды взаимно перпендикулярны,

[math]\displaystyle{ r=\frac 12 \sqrt{\overline A^2+\overline a^2+\overline B^2+\overline b^2} }[/math]

Связанные понятия

Ссылки

Справочник. Окружности (неопр.).