Формула Герона

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника [math]\displaystyle{ S }[/math] по длинам его сторон [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]:

[math]\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ p }[/math] — полупериметр треугольника: [math]\displaystyle{ p = \tfrac{1}{2}\cdot(a+b+c) }[/math].

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

[math]\displaystyle{ S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \ \gamma }[/math] — угол треугольника, противолежащий стороне [math]\displaystyle{ c }[/math]. По теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma, }[/math]

Отсюда:

[math]\displaystyle{ \cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab}, }[/math]

Значит,

[math]\displaystyle{ \ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)= }[/math]

[math]\displaystyle{ ={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}= }[/math]

[math]\displaystyle{ ={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c) }[/math].

Замечая, что [math]\displaystyle{ a+b+c=2p }[/math], [math]\displaystyle{ a+b-c=2p-2c }[/math], [math]\displaystyle{ a+c-b=2p-2b }[/math], [math]\displaystyle{ c-a+b=2p-2a }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ \sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. }[/math]

Таким образом,

[math]\displaystyle{ S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, }[/math]

ч.т.д.

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

[math]\displaystyle{ d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c} }[/math]

Для высоты h у нас было равенство h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

[math]\displaystyle{ \begin{align} h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2 = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ & = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ \end{align} }[/math]

Замечая, что [math]\displaystyle{ b+c-a=2p-2a }[/math], [math]\displaystyle{ a+b+c=2p }[/math], [math]\displaystyle{ a+b-c=2p-2c }[/math], [math]\displaystyle{ a-b+c=2p-2b }[/math], получаем:

[math]\displaystyle{ \begin{align} h^2 & = \frac{2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^2} = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2} \end{align} }[/math]

Используя основное равенство для площади треугольника [math]\displaystyle{ S = \frac{ch}2 }[/math] и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

[math]\displaystyle{ \begin{align} S = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{align} }[/math]

ч.т.д.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} }[/math]

  [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} }[/math]

  [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}. }[/math]

  [math]\displaystyle{ S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}. }[/math]

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  [math]\displaystyle{ -16 S^2 = \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c & 0 \\ b & a & 0 & c \\ c & 0 & a & b \\ 0 & c & b & a \end{vmatrix} }[/math]

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан [math]\displaystyle{ m_a }[/math], [math]\displaystyle{ m_b }[/math] и [math]\displaystyle{ m_c }[/math] и их полусумму [math]\displaystyle{ \sigma = (m_a + m_b + m_c)/2 }[/math]:

  [math]\displaystyle{ S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)} }[/math];

через длины высот [math]\displaystyle{ h_a }[/math], [math]\displaystyle{ h_b }[/math] и [math]\displaystyle{ h_c }[/math] и полусумму их обратных величин [math]\displaystyle{ H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} }[/math];

через углы треугольника [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], полусумму их синусов [math]\displaystyle{ s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2 }[/math] и диаметр описанной окружности [math]\displaystyle{ D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma} }[/math]:

[math]\displaystyle{ S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}. }[/math]

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  [math]\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}2 }[/math] — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель:

[math]\displaystyle{ S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix} a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix}} }[/math]

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны [math]\displaystyle{ l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6 }[/math], то для его объёма [math]\displaystyle{ V }[/math] верно выражение:

  [math]\displaystyle{ \begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\ + & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\ + & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\ - & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2 \end{align} }[/math].

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если [math]\displaystyle{ U }[/math], [math]\displaystyle{ V }[/math], [math]\displaystyle{ W }[/math], [math]\displaystyle{ u }[/math], [math]\displaystyle{ v }[/math], [math]\displaystyle{ w }[/math] являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро [math]\displaystyle{ u }[/math] противоположно ребру [math]\displaystyle{ U }[/math] и так далее), тогда справедливы формулы:

  [math]\displaystyle{ \text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w} }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ \begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align} }[/math].

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны [math]\displaystyle{ \theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R} }[/math] как:

  [math]\displaystyle{ S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} }[/math] — полупериметр.

Литература

• § 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO]. 
• Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
• Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора