Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] и полупериметр [math]\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2} }[/math], то его площадь [math]\displaystyle{ S }[/math] выражается формулой: [math]\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. }[/math]

Доказательство

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей [math]\displaystyle{ \triangle ABD }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle BDC }[/math]

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C. }[/math]

Так как [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] является вписанным четырехугольником, то [math]\displaystyle{ \angle DAB = 180^\circ - \angle DCB. }[/math] Следовательно, [math]\displaystyle{ \sin A = \sin C }[/math]:

[math]\displaystyle{ S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin A }[/math]

[math]\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (ab + cd)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 4S^2 = (1 - \cos^2 A)(ab + cd)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 4S^2 = (ab + cd)^2 - \cos^2 A (ab + cd)^2. }[/math]

Записав теорему косинусов для стороны [math]\displaystyle{ CB }[/math] в [math]\displaystyle{ \triangle ACB }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle BDC, }[/math] получаем:

[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C. }[/math]

Используем [math]\displaystyle{ \cos C = -\cos A }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] противолежащие), а затем выносим за скобки [math]\displaystyle{ 2\cos A }[/math]:

[math]\displaystyle{ 2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. }[/math]

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

[math]\displaystyle{ 4S^2 = (ab + cd)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2, }[/math]

Применим формулу [math]\displaystyle{ x^2-y^2 = (x+y)(x-y) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 + d^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ = ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) }[/math]

[math]\displaystyle{ = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a). }[/math]

Так как полупериметр [math]\displaystyle{ p = \frac{a+b+c+d}{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d). }[/math]

Извлекая квадратный корень, получаем:

[math]\displaystyle{ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}. }[/math]

Вариации и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, [math]\displaystyle{ d=0 }[/math]).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  [math]\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \theta }[/math] есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна [math]\displaystyle{ \theta }[/math], то полусумма двух других углов будет [math]\displaystyle{ 180^\circ -\theta }[/math], и [math]\displaystyle{ \cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta. }[/math])

Иногда эту более общую формулу записывают так:

[math]\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] — длины диагоналей четырёхугольника.

• Роббинс доказал, что для любого вписанного многоугольника с [math]\displaystyle{ n }[/math] сторонами величина [math]\displaystyle{ (4S)^2 }[/math] является корнем некоторого многочлена [math]\displaystyle{ P }[/math], коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] и [math]\displaystyle{ n=6 }[/math]. Другими авторами установлено, что многочлен [math]\displaystyle{ P }[/math] можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень [math]\displaystyle{ N=N(n) }[/math] была равна [math]\displaystyle{ \Delta_k }[/math], если [math]\displaystyle{ n=2k+1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2\Delta_k }[/math], если [math]\displaystyle{ n=2k+2 }[/math]. Здесь

  [math]\displaystyle{ \Delta_k=\frac{2k+1}{2}\binom{2k}{k} - 2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)\binom{2k+1}{j}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tbinom{k}{j}=\tfrac{k!}{j!(k-j)!} }[/math] — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем [math]\displaystyle{ \Delta_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \Delta_2=7 }[/math], [math]\displaystyle{ \Delta_3=38 }[/math], [math]\displaystyle{ \Delta_4=187, \dots }[/math] (последовательность A000531 в OEIS) и [math]\displaystyle{ N(4)=2 }[/math], [math]\displaystyle{ N(5)=7 }[/math], [math]\displaystyle{ N(6)=14 }[/math], [math]\displaystyle{ N(7)=38, \dots }[/math] (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

[math]\displaystyle{ -16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+c^2d^2)-8abcd }[/math]

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что

[math]\displaystyle{ 16 S^2 = - \begin{vmatrix} a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix} }[/math]

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского

См. также

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты

Популярная литература

• А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литература

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат. сборник.. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов / Гл. ред. Романова И. В.. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — Вып. 1. — С. 37-39.
• M. Fedorchuk, I. Pak Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes (англ.) // :en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J. : journal. — 2005. — Vol. 129, no. 2. — P. 371—404. — doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X.