Уравнение Фридмана
Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году[1].
Уравнение Фридмана
Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)[2],
- [math]\displaystyle{ ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ dl^2 }[/math] — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, [math]\displaystyle{ a(t) }[/math] — масштаб («размер») вселенной.
Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.
Сферические координаты
Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства
Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна
- [math]\displaystyle{ ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ r=a\cdot\sin\chi }[/math] — фотометрическое расстояние, [math]\displaystyle{ \chi\in[0,\pi] }[/math]; [math]\displaystyle{ \theta,\,\phi }[/math] — сферические углы; [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — масштабированное время, [math]\displaystyle{ ad\eta=dt }[/math].
Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны
- [math]\displaystyle{ R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} = -\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;, }[/math]
- [math]\displaystyle{ R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa'')\;, }[/math]
- [math]\displaystyle{ R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a'')\;, }[/math]
где штрих означает дифференцирование по [math]\displaystyle{ \eta }[/math].
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен
- [math]\displaystyle{ T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab}\, , }[/math]
где [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] плотность энергии, [math]\displaystyle{ p }[/math]—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна [math]\displaystyle{ u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\} }[/math].
Временная компонента уравнения Эйнштейна,
- [math]\displaystyle{ R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,, }[/math]
с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,
- [math]\displaystyle{ \frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. }[/math]
Если связь плотности энергии [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] и давления [math]\displaystyle{ p }[/math] (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной [math]\displaystyle{ a }[/math], используя уравнение сохранения энергии
- [math]\displaystyle{ d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,. }[/math]
В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,
- [math]\displaystyle{ \eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,. }[/math]
Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства
Для открытой вселенной метрика Фридмана равна
- [math]\displaystyle{ ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ r=a\cdot\sinh\chi }[/math], [math]\displaystyle{ \chi\in[0,\infty] }[/math]; [math]\displaystyle{ \theta,\,\phi }[/math] — сферические углы; [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — масштабированное время, [math]\displaystyle{ ad\eta=dt }[/math].
Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой [math]\displaystyle{ \{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\} }[/math].
Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть
- [math]\displaystyle{ \frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. }[/math]
Открытая (бесконечная) и плоская вселенная
Для плоской вселенной метрика Фридмана равна
- [math]\displaystyle{ ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, }[/math]
где [math]\displaystyle{ r=a\chi }[/math], [math]\displaystyle{ \chi\in[0,\infty] }[/math]; [math]\displaystyle{ \theta,\,\phi }[/math] — сферические углы; [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — масштабированное время, [math]\displaystyle{ ad\eta=dt }[/math].
Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе [math]\displaystyle{ r \ll a \to \infty }[/math].
Замечая, что [math]\displaystyle{ a'/a^2=\dot a/a }[/math], где [math]\displaystyle{ \dot a \equiv da/dt }[/math], уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как
- [math]\displaystyle{ 3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,. }[/math]
Приведённые радиальные координаты
В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна
- [math]\displaystyle{ dl^2 = \frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 d\Omega^2, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \theta, \phi }[/math] — сферические угловые координаты;
- [math]\displaystyle{ r }[/math] — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] с центром в начале координат равна [math]\displaystyle{ 2\pi r; }[/math]
- [math]\displaystyle{ k }[/math] — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;
- [math]\displaystyle{ d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 . }[/math]
Решения уравнения Фридмана
Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.
Примечания
- ↑ Friedman, A. Über die Krümmung des Raumes (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1922. — Bd. 10, Nr. 1. — S. 377—386. — doi:10.1007/BF01332580. — . (English translation: Friedman, A. On the Curvature of Space (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1999. — Vol. 31, no. 12. — P. 1991—2000. — doi:10.1023/A:1026751225741. — .). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the Ehrenfest archive Архивная копия от 29 июля 2020 на Wayback Machine.
- ↑ Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002
Ссылки
- Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expansion // Cosmology. — Berlin : Springer, 2005. — P. 53–77. — ISBN 3-540-23261-3.