Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 }[/math]

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 }[/math]

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

[math]\displaystyle{ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ... }[/math]

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как [math]\displaystyle{ \Delta u = 0 }[/math]

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Другие формы уравнения Лапласа

• В сферических координатах [math]\displaystyle{ \ (r,\theta,\varphi) }[/math] уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0 }[/math]

Особые точки [math]\displaystyle{ r = 0, \theta = 0, \theta = \pi }[/math].

• В полярных координатах [math]\displaystyle{ (r,\varphi) }[/math] уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \varphi ^2} = 0 }[/math]

Особая точка [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math].

• В цилиндрических координатах [math]\displaystyle{ (r,\varphi,z) }[/math] уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0 }[/math]

Особая точка [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math].

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сопряжено с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

[math]\displaystyle{ f(x) = C_1 x + C_2 }[/math]

где [math]\displaystyle{ C_1, C_2 }[/math] — произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

[math]\displaystyle{ \varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0. }[/math]

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

[math]\displaystyle{ f(z) = u(x,y) + iv(x,y), }[/math]

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,~ \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} . }[/math]

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

[math]\displaystyle{ u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x. }[/math]

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
• Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости