Уравнение Гамильтона — Якоби

В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

[math]\displaystyle{ H\left(q_1, \dots, q_n; \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}; t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0. }[/math]

Здесь S обозначает классическое действие, [math]\displaystyle{ H(q_1, \dots, q_n; p_1, \dots, p_n; t) }[/math] — классический гамильтониан, [math]\displaystyle{ q_i }[/math] — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции [math]\displaystyle{ S(q, p', t) }[/math] (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для [math]\displaystyle{ H(q, p, t) }[/math] и [math]\displaystyle{ H'(q', p', t) }[/math] при следующем преобразовании:

[math]\displaystyle{ (1) \quad \frac{\partial S}{\partial q} = p, \quad \frac{\partial S}{\partial p'} = q', \quad H' = H + \frac{\partial S}{\partial t}. }[/math]

Новые уравнения движения становятся

[math]\displaystyle{ (2) \quad \frac{\partial H'}{\partial q'} = -\frac{dp'}{dt}, \quad \frac{\partial H'}{\partial p'} = \frac{dq'}{dt}. }[/math]

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H́ тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

[math]\displaystyle{ (3) \quad \frac{dp'}{dt} = \frac{dq'}{dt} = 0. }[/math]

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

[math]\displaystyle{ H'(q', p', t) = H(q, p, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0. }[/math]

Поскольку уравнение (1) даёт [math]\displaystyle{ p = \partial S/\partial q, }[/math] можно записать

[math]\displaystyle{ H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0, }[/math]

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о [math]\displaystyle{ q_1 }[/math]) и соответствующий ей импульс [math]\displaystyle{ \frac{\partial S}{\partial q_1} }[/math] входят в уравнение в форме

[math]\displaystyle{ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(f_1\left(q_1, \frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_2}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}\right) = 0. }[/math]

Тогда можно положить

[math]\displaystyle{ f_1\left(q_1, \frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1, \alpha_1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] — произвольная постоянная, [math]\displaystyle{ g_1 }[/math] — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

[math]\displaystyle{ S = -\int H(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \,dt + \int g_1(q_1, \alpha_1) \,dq_1 + \int g_2(q_2, \alpha_1, \alpha_2) \,dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n) \,dq_n + k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] — произвольные постоянные, [math]\displaystyle{ k }[/math] — константа интегрирования. Напомним, что при этом [math]\displaystyle{ S }[/math] является функцией конечной точки [math]\displaystyle{ (q_1, \dots, q_n) }[/math]. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

[math]\displaystyle{ \beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}(\mathbf{q}, \alpha_1, \dots, \alpha_n, t). }[/math]

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с [math]\displaystyle{ s }[/math] степенями свободы кинетическая энергия имеет вид [math]\displaystyle{ T = \frac{1}{2} f \sum_{m=1}^s A_m(\dot q_m^2), }[/math] и потенциальная энергия имеет вид [math]\displaystyle{ \Pi = \frac{1}{f} f \sum_{m=1}^s\Pi_m(q_m), }[/math] где [math]\displaystyle{ f = \sum_{m=1}^s F_m(q_m), }[/math] то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби^[1].

См. также

Примечания

↑ Бутенин, 1971, с. 167.

Литература

Статья в Физической энциклопедии
Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание — М.: Наука, 1966.
Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.

[_505a4aed077cf9b8-1] Бутенин, 1971, с. 167.

[1]