Треугольник Кеплера

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением

[math]\displaystyle{ \varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2} }[/math]

которое может быть записано в виде : [math]\displaystyle{ 1 : \sqrt\varphi : \varphi }[/math], или приблизительно 1 : 1.272 : 1.618 Квадраты сторон этого треугольника (см. рисунок) составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

Треугольники с таким соотношением сторон были названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571—1630), который первым продемонстрировал, что в таких треугольниках отношение длины короткого катета к гипотенузе равно золотому сечению. Таким образом, треугольник Кеплера объединяет в себе два ключевых математических понятия — теорему Пифагора и золотое сечение, по поводу чего Кеплер отметил:

В геометрии существует два сокровища: одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение линии в золотой пропорции. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. Иоганн Кеплер

—

Некоторые источники утверждают, что соотношение сторон знаменитых пирамид в Гизе приближается к треугольнику Кеплера.

Следствие

Тот факт, что треугольник со сторонами [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \sqrt\varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] образует прямоугольный треугольник, прямо следует из переписывания квадратного трёхчлена для золотого сечения [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]:

[math]\displaystyle{ \varphi^2 = \varphi + 1 }[/math]

в виде теоремы Пифагора:

[math]\displaystyle{ (\varphi)^2 = (\sqrt\varphi)^2 + (1)^2. }[/math]

Отношение к среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому

Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником Кеплера.

Построение треугольника Кеплера

Метод построения треугольника Кеплера через золотое сечение.

Треугольник Кеплера может быть построен с помощью циркуля и линейки через построение золотого сечения следующим образом:

1. Построить простой квадрат
2. Провести линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу
3. Использовать эту линию в качестве радиуса дуги, определяющей высоту прямоугольника
4. Дополнить до золотого сечения
5. Использовать длинную сторону прямоугольника золотого сечения в качестве радиуса дуги, которая, пересекая противоположную сторону прямоугольника, задаёт длину гипотенузы треугольника Кеплера.

Сам Кеплер строил этот треугольник по-другому. В письме к своему бывшему учителю, профессору Михаэлю Мёстлину, он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник таким образом, что прямой угол будет находиться в точке раздела, то меньшая сторона будет равняться большему сегменту разделенной линии.».

Математическое совпадение

Возьмём треугольник Кеплера со сторонами [math]\displaystyle{ a, a \sqrt{\varphi}, a \varphi, }[/math] и рассмотрим:

• окружность, которая окружает его, и
• квадрат со стороной, равной средней по величине стороне треугольника.

Тогда периметр квадрата ([math]\displaystyle{ 4a \sqrt{\varphi} }[/math]) и длина окружности ([math]\displaystyle{ a \pi \varphi }[/math]) совпадают с точностью до 0,1 %.

Это математическое совпадение [math]\displaystyle{ \pi \approx 4/\sqrt\varphi }[/math]. Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, [math]\displaystyle{ \pi \neq 4/\sqrt\varphi }[/math] поскольку [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — трансцендентное число.