Теория приближений

Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближённого представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.

Примеры

Вместо вычисления точного значения функции [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] при малых [math]\displaystyle{ x }[/math] можно воспользоваться самим [math]\displaystyle{ x }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \sin x \approx x }[/math]. Чем больше будет [math]\displaystyle{ x }[/math], тем больше будет погрешность такого приближения.
Чтобы запомнить некоторую функцию можно запомнить её значения в некоторых точках (говорят: на сетке), а в остальных точках вычислять её по какой-нибудь интерполяционной формуле. Вопрос об оптимальном выборе (для конкретной функции или для функций из какого-то класса) сетки и формулы относится как раз к теории приближения.

История

Приближённые формулы вычисления различных функций (таких, как корень) или констант (таких, как [math]\displaystyle{ \pi }[/math]) были известны с глубокой древности.

Началом современной теории приближения принято считать работу П. Л. Чебышёва 1857 года, посвященную полиномам, наименее уклоняющимся от нуля (сейчас их называют полиномами Чебышёва первого рода).

Также к числу классических результатов теории приближения относится теорема Вейерштрасса — Стоуна (или аппроксимационная теорема Вейерштрасса).

Журналы

Основные научные журналы, посвященные теории приближения:

Journal on Approximation Theory^[en] (на английском языке, выпускается в США, сокращенно JAT)
East Journal on Approximation^[en] (на английском языке, выпускается Россией и Болгарией)
Constructive Approximation^[en] (на английском языке, выпускается в США)

Конференции

2016, 2013, 2010, 2007, 2004, 2001, 1998, 1995, 1992, 1989, 1986, 1983, 1980, 1976, 1973 — 15th International Conference on Approximation Theory, May 22-25, San Antonio, Texas;
2009 — Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III, August 22-26, Свитязь, Волынская область, Украина
1999 — International Conference on Approximation Theory and its Applications, May 26-31, Киев

Премии

Vasil A. Popov^[fr] Prize in Approximation Theory^[fr]

Российские и советские математики, занимавшиеся теорией приближений

См. также