Теория Купмана — фон Неймана

Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана (KvN-теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 1931—1932 годах.

История создания

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом ещё в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана, который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и А. Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема). Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций [math]\displaystyle{ \Psi(t, p, q) }[/math] координат [math]\displaystyle{ q }[/math] и импульсов [math]\displaystyle{ p }[/math], оснащённого следующим скалярным произведением:

[math]\displaystyle{ \langle\Psi_1(t)|\Psi_2(t)\rangle = \int\limits_p \int\limits_q \Psi_1^*(t, p, q) \Psi_2(t, p, q) \,dq\,dp, }[/math]

(1)

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака). Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности [math]\displaystyle{ \rho(p, q, t) }[/math] нахождения частицы в заданной точке [math]\displaystyle{ (p, q) }[/math] фазового пространства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]:

[math]\displaystyle{ \rho(t, p, q) = |\Psi(t, p, q)|^2. }[/math]

(2)

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки [math]\displaystyle{ \langle\Psi(t)|\Psi(t)\rangle = 1 }[/math] следует, что среднее значение [math]\displaystyle{ \langle X\rangle }[/math] произвольной физической величины [math]\displaystyle{ X }[/math], заданной действительной функцией [math]\displaystyle{ X(p, q) }[/math] может быть найдено по формуле

[math]\displaystyle{ \langle X\rangle(t) = \langle\Psi(t)|\hat X\Psi(t)\rangle = \langle\Psi(t)\hat X|\Psi(t)\rangle = \langle\Psi(t)|\hat X|\Psi(t)\rangle, }[/math]

(3)

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над [math]\displaystyle{ X }[/math] будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции [math]\displaystyle{ \Psi(t, p, q) }[/math] название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля [math]\displaystyle{ i \frac{\partial}{\partial t}\rho = \hat L \rho }[/math] для классического распределения плотности вероятности [math]\displaystyle{ \rho(t, p, q) }[/math] в фазовом пространстве:

[math]\displaystyle{ i \frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle = \hat L |\Psi\rangle, }[/math]

(4)

где

[math]\displaystyle{ \hat L = -i H_p(x, p) \frac{\partial}{\partial x} + i H_x(x, p) \frac{\partial}{\partial p} }[/math]

(5)

есть классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

[math]\displaystyle{ \Psi(t, p, q) = \sqrt{\rho(t, p, q)} e^{i \phi(t, p, q)}, }[/math]

(6)

в котором фаза [math]\displaystyle{ \phi(t, p, q) }[/math] является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \hat L = -H_p(\hat x, \hat p) \hat\lambda_x + H_x(\hat x, \hat p) \hat\lambda_p, }[/math]

(7)

где [math]\displaystyle{ \hat x, \hat p, \hat\lambda_x, \hat\lambda_p }[/math] являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

[math]\displaystyle{ [\hat x, \hat\lambda_x] = i; \quad [\hat p, \hat\lambda_p] = i; \quad [\hat p, \hat x] = [\hat\lambda_p, \hat\lambda_x] = [\hat p, \hat \lambda_x] = [\hat\lambda_p, \hat x] = 0, }[/math]

(8)

в которых скобками [math]\displaystyle{ [\cdot, \cdot] }[/math] обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе [math]\displaystyle{ \hat x = x }[/math], [math]\displaystyle{ \hat p = p }[/math], [math]\displaystyle{ \hat\lambda_x = -i \frac{\partial}{\partial x} }[/math], [math]\displaystyle{ \hat\lambda_p = -i \frac{\partial}{\partial p} }[/math]. Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине [math]\displaystyle{ X(p, q) }[/math] ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой [math]\displaystyle{ \hat X = X(\hat p, \hat q) }[/math], получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы [math]\displaystyle{ \hat x }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat p }[/math] коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием [math]\displaystyle{ U_t }[/math] классической волновой функции: [math]\displaystyle{ |\Psi(t)\rangle = U_t |\Psi(0)\rangle }[/math], причём отображение [math]\displaystyle{ t \mapsto U_t }[/math] представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы. В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования, фейнмановскую диаграммную технику.

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка показывает, что эволюция классической волновой функции (6) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы [math]\displaystyle{ \phi(t, p, q) }[/math] и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель [math]\displaystyle{ \phi(t, p, q) }[/math] в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции.

Классическая эволюция KvN-функции [math]\displaystyle{ \Psi(t, p, q) }[/math]

Квантовая эволюция функции Вигнера [math]\displaystyle{ P(t, p, q) }[/math]

Подробности Видеофайлы иллюстрируют, соответственно, классическую и квантовую динамику распределения частиц единичной массы в потенциале Морзе: [math]\displaystyle{ U(x) = 20 (1 - e^{-0{,}16x})^2 }[/math] для идентичных начальных условий: [math]\displaystyle{ P(0, p, q) = \Psi(0, p, q) }[/math]. Чёрные точки изображают перемещения классических частиц в соответствии с законами ньютоновской динамики. Чёрные линии являются уровнями одинаковой полной (кинетическая + потенциальная) энергии частиц.

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения (7) — классического лиувиллиана. Оператор (7) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (8)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов [math]\displaystyle{ \lambda_x }[/math] and [math]\displaystyle{ \lambda_p }[/math]. Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние. Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (7) получается как классический предел [math]\displaystyle{ \hbar \to 0 }[/math] в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера [math]\displaystyle{ P(p, q) }[/math]. Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (1) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

[math]\displaystyle{ \langle X\rangle = \int\limits_p \int\limits_q X(p, q) P(p, q) \,dq\,dp }[/math]

(9)

правило (3) (с подстановкой функции [math]\displaystyle{ P(p, q) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \Psi(p, q) }[/math]). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам (3) и (9) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе [math]\displaystyle{ \hbar \to 0 }[/math]. Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией [math]\displaystyle{ P(p, q) }[/math], а вычисляется по формуле (2) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

Значение

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений. Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

Литература

• Mauro, D. (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [2]).
• John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• H.R. Jauslin, D. Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent states (недоступная ссылка), Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., August 13, 2009
• The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer. — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0821842196