Термодинамика фотонного газа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Температура излучения»)

Термодинамика фотонного газа рассматривает электромагнитное излучение, используя понятия и методы термодинамики.

Электромагнитное излучение с корпускулярной точки зрения представляет собой фотонный газ с переменным числом электронейтральных безмассовых ультрарелятивистских частиц. Распространение понятий, законов и методов термодинамики на фотонный газ подразумевает, что электромагнитное излучение допустимо рассматривать как термическую систему, то есть как объект изучения, к которому применимо понятие температуры излучения[1].

Излучение нагретого металла в видимом диапазоне

Излучение телами электромагнитных волн (испускание фотонов) требует энергетических затрат, и если излучение происходит за счет внутренней энергии тела, то его называют тепловым электромагнитным излучением. Тепловое излучение имеет непрерывный спектр, то есть нагретое тело излучает энергию во всём диапазоне частот, а распределение энергии излучения по спектру зависит от температуры тела[2].

Если излучение замкнуто внутри полости в абсолютно чёрном теле, то по истечении некоторого промежутка времени излучение придёт в термодинамическое равновесие с этим телом, так что такое излучение можно рассматривать как равновесный фотонный газ (равновесное тепловое излучение, электромагнитное излучение абсолютно чёрного тела, чернотельное излучение, чёрное излучение), приписав ему температуру, равную температуре абсолютно чёрного тела. Представление о чернотельном излучении позволяет отличить равновесное излучение от неравновесного, каким является обычное электромагнитное излучение любого источника (лампа накаливания, рентгеновская трубка, лазер и т. п.) и аналогом которому молекулярный пучок[3].

Равновесное тепловое излучение однородно (плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости), изотропно (если размеры полости много больше наибольшей принимаемой во внимание длины волны излучения, то фотоны в полости движутся хаотически и величина энергии, распространяющейся внутри телесного угла, не зависит от направления) и неполяризовано (излучение содержит все возможные направления колебаний векторов напряжённости электрического и магнитного полей)[4].

Важность модели «равновесный фотонный газ» для классической термодинамики связана как с её предельной математической простотой (получаемые результаты допускают, как правило, простой аналитический и/или графический анализ поведения входящих в уравнения величин), так и со значением даваемых моделью частных результатов для лучшего понимания общей термодинамической теории (парадокса Гиббса, постулата Тиссы, третьего начала, свойств характеристических функций, аддитивности по объёму), а научная ценность состоит в том, что термодинамический подход к фотонному газу используют при рассмотрении внутреннего строения звёзд, когда давление излучения имеет принципиальное значение[5].

Особенности фотонного газа

Перечислим особенности электромагнитного излучения, рассматриваемого как совокупность частиц — фотонов, — возникающих при испускании и исчезающих при поглощении излучения веществом[6][7][8][9]:

Прямой обмен энергией между фотонами можно считать ничтожно малым, поэтому для установления термического равновесия в фотонном газе принципиально необходимо взаимодействие фотонов с веществом, которое должно наличествовать хотя бы в небольшом количестве[11]. Установление равновесия происходит за счёт поглощения и испускания фотонов веществом, например, стенками полости, причём энергии поглощаемых и спускаемых фотонов не обязаны совпадать[12]. Равновесие наступает, когда в фотонном газе достигается стационарное распределение фотонов по энергиям, не зависящее от времени и природы вещества, но зависящее от температуры. Поглощение и испускание фотонов веществом ведёт к тому, что их число в полости непостоянно и зависит от температуры, то есть число частиц в равновесном фотонном газе не является независимой переменной[13]. Тем самым фотонный газ отличается от обычного газа атомно-молекулярной природы: не существует различных сортов фотонов и смесевых фотонных газов. Различие между фотонами чисто количественное: на микроскопическом уровне — в энергиях (импульсах) фотонов, на макроскопическом — в температурах фотонногазовых систем.

Если рассматривают излучение не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключением частот, близких к линиям поглощения вещества); при высокой плотности вещества условие идеальности фотонного газа соблюдается лишь при очень высоких температурах[14][15].

Термодинамические свойства фотонного газа

В состоянии равновесия электромагнитное излучение (фотонный газ) внутри полости в абсолютно чёрном теле характеризуют теми же термодинамическими величинами, что и обычный газ: объёмом, давлением, температурой, внутренней энергией, энтропией и т. д. Излучение оказывает давление на стенки полости за счёт того, что фотоны обладают импульсом; температура равновесного фотонного газа совпадает с температурой стенок. Приведём без вывода основные термодинамические соотношения для равновесного теплового излучения (фотонного газа)[16][17][18][19][20]:

  • Давление
[math]\displaystyle{ P = \frac{ \alpha }{3} T^4, }[/math] (Термическое уравнение состояния)

где α — радиационная постоянная[21], связанная с постоянной Стефана — Больцмана σ соотношением

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{4 \sigma }{c}, }[/math] (Радиационная постоянная)

(c — скорость света в вакууме).

В выражение для давления, представляющее собой термическое уравнение состояния фотонного газа, не входит объём[22], то есть фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы[23][24]. В качестве единственной независимой переменной, используемой для описания состояние фотонного газа, традиционно выбирают температуру. Это означает, что для фотонного газа термическое равновесие есть необходимое и достаточное условие равновесия термодинамического, то есть в данном конкретном случае эти понятия эквивалентны друг другу.

[math]\displaystyle{ U = \alpha VT^4. }[/math] (Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

Из этого выражения видно, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму[27]. Важно, что от объёма системы зависит число находящихся в нём фотонов и, следовательно, энергия теплового излучения и другие аддитивные функции состояния, но не плотности этих величин, которые зависят только от температуры[28]. Дабы подчеркнуть, что в калорическое уравнение состояния и другие термодинамические соотношения объём входит не как независимая переменная состояния, а как характеризующий систему числовой параметр, для фотонного газа в математические формулы часто вместо аддитивных по объёму функций состояния включают их плотности. Используя плотность внутренней энергии (плотность излучения[29]) u, запишем калорическое уравнение состояния фотонного газа в таком виде:

[math]\displaystyle{ u \equiv \frac {U}{V} = \alpha T^4. }[/math] (Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

С использованием внутренней энергии в качестве независимой переменной термическое уравнение состояния фотонного газа можно записать так:

[math]\displaystyle{ PV = \frac{ 1 }{3} U, }[/math] (Термическое уравнение состояния)

или так:

[math]\displaystyle{ P = \frac{1}{3} u. }[/math] (Термическое уравнение состояния)
[math]\displaystyle{ U = \alpha V \left ( \frac{3 S }{4 \alpha V } \right )^{ \mathsf{ \frac{4}{3}}} . }[/math] (Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)
[math]\displaystyle{ H = \left ( \frac{3 P }{ \alpha } \right )^{ \mathsf{ \frac{1}{4}}} S . }[/math] (Каноническое уравнение состояния для энтальпии)
[math]\displaystyle{ F = - \frac{1}{3} \alpha V T^4 . }[/math] (Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)
[math]\displaystyle{ G = 0. }[/math] (Потенциал Гиббса)

Таким образом, для фотонного газа потенциал Гиббса [math]\displaystyle{ G(P,T) }[/math] не является характеристической функцией. Для систем с аддитивной энергией [math]\displaystyle{ U + PV - TS - \mu N =0 }[/math], а у фотонного газа к тому же [math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math], откуда [math]\displaystyle{ G=0 }[/math]. Поскольку число фотонов, вообще говоря, не сохраняется при изменении состояния, нельзя задать состояние данной системы через [math]\displaystyle{ P }[/math], [math]\displaystyle{ T }[/math]. Никакие две из экстенсивных величин [math]\displaystyle{ P }[/math], [math]\displaystyle{ T }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu }[/math] (концентрация) здесь не являются независимыми, из одной можно получить две другие.

С точки зрения теоретической термодинамики это означает, что перечень характеристических функций системы зависит от её особенностей и для различных термодинамических систем эти перечни совпадать не обязаны; только внутренняя энергия и энтропия для любой термодинамической системы сохраняют свойства характеристических функций.

[math]\displaystyle{ \Omega = - \frac{1}{3} \alpha V T^4 . }[/math] (Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)
  • Энтропия как функция температуры
[math]\displaystyle{ S = \frac{4 \alpha }{3} VT^3 . }[/math] (Энтропийный аналог калорического уравнения состояния)

Видно, что выражение для энтропии фотонного газа не противоречит третьему началу термодинамики.

[math]\displaystyle{ \mu = 0 . }[/math] (Химический потенциал)
[math]\displaystyle{ C_V = 4 \alpha VT^3. }[/math] (Теплоёмкость при постоянном объёме)
[math]\displaystyle{ C_P = \infty. }[/math] (Теплоёмкость при постоянном давлении)

Это значит, что при постоянном давлении температура фотонного газа не меняется. При передаче системе теплоты при постоянном давлении будет увеличиваться объём и пропорционально число фотонов. Изобарный процесс (P = const) является одновременно и изотермическим (T = const).

[math]\displaystyle{ \gamma = \infty. }[/math] (Показатель адиабаты)
[math]\displaystyle{ S = \mathrm{const},~ VT^3 = \mathrm{const},~ PV^{4/3} = \mathrm{const}. }[/math] (Уравнения адиабаты)

Примечания

  1. ↑ Представление о температуре излучения было введено в физику Б. Б. Голицыным в 1893 году ([www.libgen.io/book/index.php?md5=9141817FC5AD4DE066582D464157D189 Жуковский В. С., Техническая термодинамика, 3-е изд., 1952, с. 192] (недоступная ссылка)) в его магистерской диссертации (см. Голицын Б. Б., Исследования по математической физике, 1960).
  2. ↑ Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В., Квантовая физика, 2006, с. 8.
  3. ↑ Докторов А. Б., Бурштейн А. И., Термодинамика, 2003, с. 57.
  4. ↑ Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В., Квантовая физика, 2006, с. 9.
  5. ↑ Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики, 1969, с. 263.
  6. ↑ Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В., Квантовая физика, 2006, с. 7—9.
  7. ↑ Тагиров Э. А. Фотон // Физическая энциклопедия, т. 5, 1998, с. 354.. Дата обращения: 18 июня 2016. Архивировано 21 июня 2016 года.
  8. ↑ Мякишев Г. Я. Вырожденный газ // БСЭ (3-е изд.), т. 5, 1974, с. 535.. Дата обращения: 18 июня 2016. Архивировано 25 июня 2016 года.
  9. ↑ Тагиров Э. А. Фотон // БСЭ (3-е изд.), т. 27, 1977, с. 588.. Дата обращения: 18 июня 2016. Архивировано 25 июня 2016 года.
  10. ↑ Тот факт, что фотоны не взаимодействуют друг с другом, с точки зрения классической электродинамики есть следствие линейности её уравнений (принцип суперпозиции для электромагнитного поля; см. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, ч. 1, 2002, с. 216; Ясюкевич Ю. В., Душутин Н. К. Излучение электромагнитных волн, 2012, с. 74).
  11. ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1, 2002, с. 217.
  12. ↑ Кожеуров В. А., Статистическая термодинамика, 1975, с. 129.
  13. ↑ Куни Ф. М., Статистическая физика и термодинамика, 1981, с. 200.
  14. ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика. Часть 1, 2002, с. 216.
  15. ↑ Ясюкевич Ю. В., Душутин Н. К., Излучение электромагнитных волн, 2012, с. 74.
  16. ↑ Гуггенгейм, Современная термодинамика, 1941, с. 164–167.
  17. ↑ Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 465–467.
  18. ↑ Сычёв В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 209—221.
  19. ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 157, 177, 349.
  20. ↑ Сычёв В. В., Дифференциальные уравнения термодинамики, 2010, с. 244—245.
  21. ↑ В известном учебнике она названа постоянной закона Стефана — Больцмана (Базаров И. П. Термодинамика, 2010, с. 211).
  22. ↑ Здесь уместна аналогия с насыщенным паром над поверхностью жидкости (Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, 2000, с. 85—86): увеличение размеров полости, занятой излучением (паром) ведёт к увеличению числа фотонов (молекул) в полости, оставляя неизменными давление и плотности всех аддитивных величин (числа частиц, внутренней энергии, энтропии и др.).
  23. ↑ Алмалиев А. Н. и др., Термодинамика и статистическая физика, 2004, с. 59.
  24. ↑ Терлецкий Я. П., Статистическая физика, 1994, с. 220.
  25. ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 211.
  26. ↑ Внутренняя энергия ограничена снизу, и эта граница соответствует абсолютному нулю температуры.
  27. ↑ Поскольку в термодинамике не используют понятие «аддитивность по числу частиц», то и говорят в данном случае об аддитивности по объёму.
  28. ↑ Внутренняя энергия неизменного количества классического идеального газа (молекулярного) зависит только от его температуры.
  29. ↑ Сычёв В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 209.

Литература

  • Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
  • Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
  • Василевский А. С., Мултановский В. В. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Просвещение, 1985. — 256 с.
  • Голицын Б. Б. Исследования по математической физике // Голицын Б. Б. Избранные труды. Том 1. Физика. / Отв. ред. А. С. Предводителев. — М.: Изд-во АН СССР. — 242 с., 1960, с. 72—214.
  • Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л.—М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
  • Докторов А. Б., Бурштейн А. И. Термодинамика. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003. — 83 с.
  • Жуковский В. С. [www.libgen.io/book/index.php?md5=9141817FC5AD4DE066582D464157D189 Техническая термодинамика]. — 3-е изд. — М.: Гостехиздат, 1952. — 440 с. (недоступная ссылка)
  • Кожеуров В. А. Статистическая термодинамика. — М.: Металлургия, 1975. — 176 с.
  • Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука, 1981. — 352 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с. — (Теоретическая физика в 10 томах. Том 5). — ISBN 5-9221-0054-8.
  • Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая физика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. — 528 с. — (Физика в техническом университете). — ISBN 5-7038-2797-3.
  • Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
  • Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики. — 2-изд., испр. — М.: Высшая школа, 1969. — 288 с.
  • Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — 2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Изд-во Носиб. ун-та, 2000. — 608 с. — ISBN 5-7615-0383-2.
  • Сычёв В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 3-е изд. — М.: Изд-во МЭИ, 2010. — 251 с. — ISBN 978-5-383-00584-2.
  • Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0..
  • Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: Высшая школа, 1994. — 352 с..
  • Ясюкевич Ю. В., Душутин Н. К. Излучение электромагнитных волн. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 2012. — 228 с. — ISBN 978-5-9624-0647-3.


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Термодинамика_фотонного_газа&oldid=7075838