Сферическая система координат

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами [math]\displaystyle{ (r,\;\theta,\;\varphi) }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а [math]\displaystyle{ \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы [math]\displaystyle{ Oxyz }[/math], фундаментальной плоскостью будет плоскость [math]\displaystyle{ xy }[/math], зенитным углом точки, заданной радиус-вектором [math]\displaystyle{ P }[/math], будет угол между [math]\displaystyle{ P }[/math] и осью [math]\displaystyle{ z }[/math], а азимутом — угол между проекцией [math]\displaystyle{ P }[/math] на плоскость [math]\displaystyle{ xy }[/math] и осью [math]\displaystyle{ x }[/math]. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Определения

Положение точки [math]\displaystyle{ P }[/math] в сферической системе координат определяется тройкой [math]\displaystyle{ (r,\;\theta,\;\varphi) }[/math], где

• [math]\displaystyle{ r\geqslant 0 }[/math] — расстояние от начала координат до заданной точки [math]\displaystyle{ P }[/math].
• [math]\displaystyle{ 0^\circ\leqslant\theta\leqslant 180^\circ }[/math] — угол между осью [math]\displaystyle{ z }[/math] и отрезком, соединяющим начало координат и точку [math]\displaystyle{ P }[/math].
• [math]\displaystyle{ 0^\circ\leqslant\varphi\lt 360^\circ }[/math] — угол между осью [math]\displaystyle{ x }[/math] и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой [math]\displaystyle{ P }[/math], на плоскость [math]\displaystyle{ xy }[/math] (см. рис. 1).

Угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math] называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — азимутальным. Углы [math]\displaystyle{ \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] не определены при [math]\displaystyle{ r=0 }[/math], также не определён угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] при [math]\displaystyle{ \sin(\theta)=0 }[/math] (то есть при [math]\displaystyle{ \theta=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ \theta=180^\circ }[/math]).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла [math]\displaystyle{ \theta }[/math], используется угол между радиус-вектором точки [math]\displaystyle{ P }[/math] и плоскостью [math]\displaystyle{ xy }[/math], равный [math]\displaystyle{ 90^\circ - \theta }[/math]. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой [math]\displaystyle{ \theta }[/math]. Широта может изменяться в пределах [math]\displaystyle{ -90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ }[/math]. При этом соглашении углы [math]\displaystyle{ \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] не имеют значения при [math]\displaystyle{ r=0 }[/math], так же как и в первом случае, а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] не имеет значения при [math]\displaystyle{ \cos(\theta)=0 }[/math] (то есть при [math]\displaystyle{ \theta=-90^\circ }[/math] или [math]\displaystyle{ \theta=90^\circ }[/math]).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки [math]\displaystyle{ (r,\;\theta,\;\varphi) }[/math], то переход к декартовым осуществляется по формулам:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases} }[/math]

Обратно, от декартовых к сферическим:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \theta=\arccos\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\mathrm{arctg}\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\dfrac{y}{x}. \end{cases} }[/math]

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} J & =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}=\begin{vmatrix} \sin \theta \cos \varphi & r \cos \theta \cos \varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r \cos \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & - r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} = \\ & =\cos \theta (r^2 \cos \varphi^2 \cos \theta \sin \theta + r^2\sin^2\varphi \cos\theta\sin\theta) + r\sin\theta(r\sin^2\theta\cos^2\varphi + r\sin^2\theta\sin^2\varphi) = \\ & = r^2 \cos^2\theta \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta \sin\theta =\\ &= r^2\sin\theta. \end{alignat} }[/math]

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = J(r,\theta,\varphi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin \theta \, \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi }[/math]

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \rho=r\sin\theta, \\ \varphi=\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases} }[/math]

Обратно от цилиндрических к сферическим:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\ \theta=\mathrm{arctg}\dfrac{\rho}{z}, \\ \varphi=\varphi. \end{cases} }[/math]

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим [math]\displaystyle{ J=r }[/math].

Дифференциальные характеристики

Вектор [math]\displaystyle{ \mathrm{d}\mathbf{r} }[/math], проведённый из точки [math]\displaystyle{ (r,\theta,\varphi) }[/math] в точку [math]\displaystyle{ (r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi) }[/math], равен

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \varphi}}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\hat r} =\sin \theta \cos \varphi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \sin \theta \sin \varphi \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \cos \theta \boldsymbol{\hat{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\hat\theta } =\cos \theta \cos \varphi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \theta \sin \varphi \boldsymbol{\hat{\jmath}} -\sin \theta \boldsymbol{\hat{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\hat \varphi} =-\sin \varphi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \varphi \boldsymbol{\hat{\jmath}} }[/math]

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения [math]\displaystyle{ r,\theta,\varphi }[/math], соответственно, а [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\hat{\imath}}, \boldsymbol{\hat{\jmath}}, \boldsymbol{\hat{k}} }[/math] — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

[math]\displaystyle{ g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{pmatrix} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\ }[/math]
• Квадрат дифференциала длины дуги:

[math]\displaystyle{ ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2. }[/math]

• Коэффициенты Ламе:

[math]\displaystyle{ H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta. }[/math]

• Символы Кристоффеля [math]\displaystyle{ \{r,\;\theta,\;\varphi\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\mathrm{ctg}\,\theta. }[/math]

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата [math]\displaystyle{ r }[/math] отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math] есть коширота (дополнение географической широты до [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math]);
• азимутальный угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] имеет компоненты

[math]\displaystyle{ B_r = -B \sin I, \; B_\theta = -B \cos I \cos D, \; B_\varphi = B \cos I \sin D, }[/math]

где [math]\displaystyle{ I }[/math] — магнитное наклонение; [math]\displaystyle{ D }[/math] — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения [math]\displaystyle{ \mathbf{g} }[/math] равны

[math]\displaystyle{ g_r = -g, \; g_\theta = g_\varphi = 0. }[/math]

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли [math]\displaystyle{ \mathbf{\Omega} }[/math] такие:

[math]\displaystyle{ \Omega_r = \Omega \cos \theta, \; \Omega_\theta = -\Omega \sin \theta, \; \Omega_\varphi = 0. }[/math]

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства.

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
• координата [math]\displaystyle{ r }[/math] отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] до [math]\displaystyle{ 90^\circ \colon\; \Theta = \pi/2 - \Phi }[/math]);
• азимутальный угол [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

[math]\displaystyle{ \theta_0 = 4,6^\circ, \; \varphi_0 = 43,0^\circ \; (2012). }[/math]

В сферической геомагнитной системе координат склонение [math]\displaystyle{ D = 0 }[/math] и

[math]\displaystyle{ B_r = -B \sin I, \; B_\Theta = -B \cos I, \; B_\Lambda = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ g_r = -g, \; g_\Theta = g_\Lambda = 0. }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega_r = \Omega (\cos \theta_0 \cos \Theta - \sin \theta_0 \sin \Theta \cos \Lambda), }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega_\Theta = -\Omega (\cos \theta_0 \sin \Theta + \sin \theta_0 \cos \Theta \cos \Lambda), }[/math]

[math]\displaystyle{ \Omega_\Lambda = \Omega \sin \theta_0 \sin \Lambda. }[/math]

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты:

[math]\displaystyle{ \cos \Theta = \cos \theta_0 \cos \theta + \sin \theta_0 \sin \theta \cos (\varphi - \varphi_0), }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \Lambda = \frac{-\sin \theta_0 \cos \theta + \cos \theta_0 \sin \theta \cos (\varphi - \varphi_0)}{\sin \Theta}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \theta = \cos \theta_0 \cos \Theta - \sin \theta_0 \sin \Theta \cos \Lambda, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos (\varphi - \varphi_0) = \frac{\sin \theta_0 \cos \Theta + \cos \theta_0 \sin \Theta \cos \Lambda}{\sin \theta}. }[/math]

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсферические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.