Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

История

Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд. Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов.

Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра, Ибн Ирак, Кушьяр ибн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джайяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника, позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.

История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.

Основные соотношения

Сферический треугольник.

Обозначим стороны сферического треугольника a, b, c, противолежащие этим сторонам углы — A, B, C. Сторона сферического треугольника равна углу между двумя лучами исходящими из центра сферы в соответствующие концы стороны треугольника. Для радианной меры угла:

[math]\displaystyle{ a=\frac{|uv|}{R}, }[/math] [math]\displaystyle{ b=\frac{|uw|}R, }[/math] [math]\displaystyle{ c=\frac{|vw|}R }[/math]

При использовании угла вместо длины дуги для измерения сторон сферического треугольника упрощаются формулы — в них тогда не входит радиус сферы. Так же поступают, например, в сферической астрономии, где радиус небесной сферы не имеет значения.

Теоремы для прямоугольного сферического треугольника

Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} b= \operatorname{tg} c\cos A, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} a= \sin b\operatorname{tg} A, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin a= \sin c\sin A, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{cos} c= \operatorname{ctg} A\operatorname{ctg} B, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos A= \cos a\sin B. }[/math]

Теоремы для произвольного сферического треугольника

Сферические теоремы косинусов

[math]\displaystyle{ \cos a= \cos b \cos c + \sin b\sin c\cos A, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos A = -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a. }[/math]

Сферическая теорема синусов

[math]\displaystyle{ \frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}, \sin^2 A\gt 0,\sin^2B\gt 0, \sin^2C\gt 0. }[/math]

Первая и вторая сферические теоремы косинусов двойственны по отношению друг к другу. Сферическая теорема синусов двойственна по отношению к самой себе.

Формула пяти элементов

[math]\displaystyle{ \sin a \cos C=\sin b\cos c - \cos b\sin c\cos A. }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin A\cos c= \sin B \cos C + \cos B \sin C \cos a, }[/math]

Указанные две формулы так же двойственны друг к другу.

Применение

Знание формул сферической тригонометрии необходимо при решении таких задач, как, например, преобразование координат из одной системы небесных координат в другую, расчёт долготы центрального меридиана планеты Солнечной системы, разметка солнечных часов и точное направление спутниковой антенны («тарелки») на нужный спутник для приёма каналов спутникового телевидения.

См. также

• Решение треугольников
• Сферическая геометрия
• Ортодромия

Литература

• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

Ссылки

• Краткий справочник по сферической тригонометрии.
• Сферическая тригонометрия — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Сферическая тригонометрия на сайте MathWorld