Сегмент круга
Сегме́нт кру́га, кругово́й сегмент — часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.
Соотношения
Пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус круга, [math]\displaystyle{ c }[/math] — длина хорды сегмента, [math]\displaystyle{ s }[/math] — длина дуги сегмента, [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота сегмента, также называемая стрелкой сегмента, [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол дуги сегмента выраженный в радианах. Размер сегмента круга однозначно задаётся любой парой этих величин и любая величина выражается через любую другую пару. Тогда:
- [math]\displaystyle{ R = \frac {s}{\theta} = \frac {h}{1-\cos {\frac {\theta }{2}}} = \frac {d}{\cos {\tfrac {\theta }{2}}} = \frac {c}{2\sin {\tfrac {\theta }{2}}} = h + d = \frac {c^{2} + 4h^2}{8h} = \frac {1}{2}\sqrt {4d^2 + c^2}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ s = \theta\cdot R
= 2R\arccos \left(1 - \tfrac {h}{R}\right)
= 2R\arccos \tfrac {d}{R}
= 2R\arcsin \frac {c}{2R} = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = \frac \theta h}{1-\cos {\frac {\theta }{2}} = \frac {\theta d}{\cos {\tfrac {\theta }{2}}} = {\frac {\theta c}{2\sin {\tfrac {\theta }{2}}}} = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 2(h+d)\arccos {\tfrac {d}{h+d}} = \frac {c^{2}+4h^{2}}{4h}}\arcsin {\tfrac {4hc}{c^{2}+4h^{2}} = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = \sqrt {4d^{2}+c^{2}}}\arcsin {\frac {c}{\sqrt {4d^{2}+c^{2}}}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = 2R\sin\tfrac{\theta}{2} = R\sqrt{2-2\cos\theta} = 2\sqrt{h(2R-h)}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ h = R(1-\cos\tfrac{\theta}{2}) = R - \sqrt{R^2 - \tfrac{c^2}{4}}; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \theta = 2\arccos\frac{d}{R} = \frac {s}{R} = 2\arccos \frac {R-h}{R} = 2\arcsin \frac {c}{2R}. }[/math]
Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:
- [math]\displaystyle{ S = \frac {1}{2}R^2(\theta - \sin\theta) = \frac {1}{2}R^{2}\left({\frac {s}{R}}-\sin {\tfrac {s}{R}}\right). }[/math]