Распределение Лапласа

Распределение Лапласа
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	[math]\displaystyle{ \textstyle\alpha\gt 0 }[/math] — коэффициент масштаба [math]\displaystyle{ \beta\in\mathbb{R} }[/math] — коэффициент сдвига
Носитель	[math]\displaystyle{ x \in (-\infty; \infty) }[/math]
Плотность вероятности	[math]\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|} }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\leqslant\beta \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x\gt \beta \end{cases} }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ \beta }[/math]
Медиана	[math]\displaystyle{ \beta }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ \beta }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ \frac{2}{\alpha^{2}} }[/math]
Коэффициент асимметрии	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Коэффициент эксцесса	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
Дифференциальная энтропия	[math]\displaystyle{ \ln\frac{2e}{\alpha} }[/math]
Производящая функция моментов	?
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ \frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}} }[/math]

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{\alpha}{2} \, e^{-\alpha|x - \beta|}, \quad -\infty \lt x \lt +\infty, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math] — параметр масштаба, [math]\displaystyle{ -\infty\lt \beta\lt +\infty }[/math] — параметр сдвига.

Функция распределения

По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

[math]\displaystyle{ F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t) \,dt = \frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\alpha|t-\beta|} \,dt. }[/math]

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

[math]\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x \leqslant \beta, \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x \gt \beta. \end{cases} }[/math]

Проверка свойств полученной функции:

1. [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] не убывает, так как [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] положительна.
2. [math]\displaystyle{ F(\beta - 0) = F(\beta + 0) = \frac{1}{2} }[/math], следовательно, [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ \beta }[/math]
3. [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] ограничена.
4. Пределы на бесконечностях:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} F(x) = \frac{1}{2} \lim_{x \to -\infty}e^{\alpha(x - \beta)} = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 - \frac{1}{2} \lim_{x \to +\infty}e^{-\alpha(x - \beta)} = 1. }[/math]

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал [math]\displaystyle{ (-\infty,+\infty) }[/math] при вычислениях необходимо разбить на [math]\displaystyle{ (-\infty,\beta) }[/math] и [math]\displaystyle{ [\beta,+\infty) }[/math]. Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей ([math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]) рассматриваются пределы вида [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}r(x) }[/math]. В результате

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx= \beta }[/math]

детали расчёта

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx = \beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}} }[/math]

детали расчёта

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}}{2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{D}\xi=\operatorname{E}\xi^{2}-(\operatorname{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}} }[/math]

Моменты

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx= \sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \left\lfloor s \right\rfloor }[/math] — целая часть s.

детали расчёта

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx }[/math]

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

[math]\displaystyle{ \int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}- }[/math][math]\displaystyle{ \ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{\alpha(x-\beta)}+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}- }[/math][math]\displaystyle{ \ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)} }[/math]

После подстановок пределов интегрирования:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}- }[/math] [math]\displaystyle{ \ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}} }[/math]

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{k}= \begin{cases} \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k}}, & k=2n \\ \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1 \end{cases} }[/math]

Или, в общем виде:

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!} }[/math], где [math]\displaystyle{ \left\lfloor s\right\rfloor }[/math] — целая часть s.

Характеристическая функция

[math]\displaystyle{ \phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx = \frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}} }[/math]

детали расчёта

[math]\displaystyle{ \phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx }[/math]

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера [math]\displaystyle{ \textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x }[/math] и классический пример нахождения интегралов вида [math]\displaystyle{ \int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx }[/math] и [math]\displaystyle{ \int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx }[/math] (см. Интегрирование по частям:Примеры):

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}(\cos tx + i\sin tx)e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}\cos tx\,e^{-\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{\beta}^{+\infty}\sin tx\,e^{-\alpha(x-\beta)}dx= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}= }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big) }[/math]

Окончательно характеристическая функция есть:

[math]\displaystyle{ \phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}} }[/math]

Применение   

Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить:   

• к кредитным рискам;
• к страховым случаям;   
• при работе с фильтром Кальмана.