Распределение Коши
Распределение Коши | |
---|---|
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши | |
Цвета находятся в соответствии с графиком выше | |
Обозначение | [math]\displaystyle{ \mathrm{C}(x_0,\gamma) }[/math] |
Параметры |
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — коэффициент сдвига [math]\displaystyle{ \gamma \gt 0 }[/math] — коэффициент масштаба |
Носитель | [math]\displaystyle{ x \in (-\infty; +\infty) }[/math] |
Плотность вероятности | [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} }[/math] |
Функция распределения | [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} }[/math] |
Математическое ожидание | не существует |
Медиана | [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] |
Мода | [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] |
Дисперсия | не существует |
Коэффициент асимметрии | не существует |
Коэффициент эксцесса | не существует |
Дифференциальная энтропия | [math]\displaystyle{ \ln(4\,\pi\,\gamma) }[/math] |
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция | [math]\displaystyle{ \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|) }[/math] |
Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.
Определение
Пусть распределение случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] задаётся плотностью [math]\displaystyle{ f_X(x) }[/math], имеющей вид:
- [math]\displaystyle{ f_X(x) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right] }[/math],
где
- [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R} }[/math] — параметр сдвига;
- [math]\displaystyle{ \gamma \gt 0 }[/math] — параметр масштаба.
Тогда говорят, что [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет распределение Коши и пишут [math]\displaystyle{ X \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ x_0 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma = 1 }[/math], то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.
Функция распределения
Функция распределения Коши имеет вид:
- [math]\displaystyle{ F_X(x) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} }[/math].
Она строго возрастает и имеет обратную функцию:
- [math]\displaystyle{ F^{-1}_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right]. }[/math]
Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.
Моменты
Так как интеграл Лебега
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx }[/math]
не определён для [math]\displaystyle{ \alpha \geqslant 1 }[/math], ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]\, dx = x_0 }[/math] ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.
Другие свойства
- Распределение Коши бесконечно делимо.
- Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm{C}(0,1) }[/math], то
- [math]\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1) }[/math]
Связь с другими распределениями
- Если [math]\displaystyle{ U \sim U[0,1] }[/math], то
- [math]\displaystyle{ x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma) }[/math].
- Если [math]\displaystyle{ X_1,X_2 }[/math] — независимые нормальные случайные величины, такие что [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,2 }[/math], то
- Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1) }[/math].
Появление в практических задачах
- Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее[1]:
Если [math]\displaystyle{ U \sim U[0,1] }[/math], то [math]\displaystyle{ \pi\ \left( U-{1 \over 2} \right) \sim }[/math] [math]\displaystyle{ U }[/math](−[math]\displaystyle{ \pi /2, \pi /2 }[/math]), поэтому [math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,\left[ \pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(0,1) }[/math]. В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).
- В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
- Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Галкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. 2014. № 2(104). С. 314
- ↑ Распределение Коши Архивная копия от 29 июля 2017 на Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com